Сколько было ламп с одной, двумя и тремя лампочками, если всего Маша насчитала 42 лампы и 65 лампочек, а ламп с двумя лампочками было на 5 больше, чем ламп с тремя лампочками?

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачу про лампы.\n\nПусть у нас будет:\n* $x$ — количество ламп с одной лампочкой.\n* $y$ — количество ламп с двумя лампочками.\n* $z$ — количество ламп с тремя лампочками.\n\nТеперь запишем всё, что мы знаем, в виде уравнений:\n\n1. **Всего ламп было 42:**\n $x + y + z = 42$\n\n2. **Всего лампочек было 65:**\n Лампы с 1 лампочкой дадут $1 \cdot x$ лампочек.\n Лампы с 2 лампочками дадут $2 \cdot y$ лампочек.\n Лампы с 3 лампочками дадут $3 \cdot z$ лампочек.\n Значит: $1x + 2y + 3z = 65$\n\n3. **Ламп с двумя лампочками было на 5 больше, чем ламп с тремя лампочками:**\n $y = z + 5$\n\nТеперь у нас есть система из трёх уравнений:\n$$ \begin{cases} x + y + z = 42 \\ x + 2y + 3z = 65 \\ y = z + 5 \end{cases} $$\n\nДавай подставим третье уравнение ($y = z + 5$) в первое и второе уравнения, чтобы уменьшить количество неизвестных:\n\n**Подставляем в первое уравнение:**\n$x + (z + 5) + z = 42$\n$x + 2z + 5 = 42$\n$x + 2z = 42 - 5$\n$x + 2z = 37$ (Это будет наше новое уравнение 1а)\n\n**Подставляем во второе уравнение:**\n$x + 2(z + 5) + 3z = 65$\n$x + 2z + 10 + 3z = 65$\n$x + 5z + 10 = 65$\n$x + 5z = 65 - 10$\n$x + 5z = 55$ (Это будет наше новое уравнение 2а)\n\nТеперь у нас есть новая, более простая система из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $z$:\n$$ \begin{cases} x + 2z = 37 \quad (1а) \\ x + 5z = 55 \quad (2а) \end{cases} $$\n\nВычтем уравнение (1а) из уравнения (2а), чтобы найти $z$:\n$(x + 5z) - (x + 2z) = 55 - 37$\n$x + 5z - x - 2z = 18$\n$3z = 18$\n$z = 18 \div 3$\n$z = 6$\n\nМы нашли, что было **6 ламп с тремя лампочками**.\n\nТеперь, зная $z$, мы можем найти $y$ из третьего начального уравнения $y = z + 5$:\n$y = 6 + 5$\n$y = 11$\n\nЗначит, было **11 ламп с двумя лампочками**.\n\nИ, наконец, зная $y$ и $z$, найдём $x$ из первого начального уравнения $x + y + z = 42$:\n$x + 11 + 6 = 42$\n$x + 17 = 42$\n$x = 42 - 17$\n$x = 25$\n\nПолучается, было **25 ламп с одной лампочкой**.\n\nДавай проверим, всё ли сошлось:\n* Всего ламп: $25 + 11 + 6 = 42$. Верно!\n* Всего лампочек: $(1 \cdot 25) + (2 \cdot 11) + (3 \cdot 6) = 25 + 22 + 18 = 65$. Верно!\n* Ламп с двумя лампочками (11) на 5 больше, чем ламп с тремя (6): $11 - 6 = 5$. Верно!\n\n**Ответ:**\nЛамп с одной лампочкой было 25.\nЛамп с двумя лампочками было 11.\nЛамп с тремя лампочками было 6.