Реши уравнение: $\sqrt[12]{2x-3} = \sqrt[12]{x^2+x-23}$

Привет! Давай вместе решим это уравнение. У нас есть двенадцатые корни, и они равны. Значит, подкоренные выражения тоже должны быть равны, но есть одно важное условие: под корнем чётной степени (у нас 12) не может быть отрицательного числа. Поэтому подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю. Шаг 1: Приравниваем подкоренные выражения. $$2x - 3 = x^2 + x - 23$$ Шаг 2: Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. $$0 = x^2 + x - 23 - 2x + 3$$ $$0 = x^2 - x - 20$$ Шаг 3: Решаем квадратное уравнение $x^2 - x - 20 = 0$. Мы можем использовать дискриминант или теорему Виета. Давай попробуем через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$ У нас $a=1$, $b=-1$, $c=-20$. $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$ Находим корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Шаг 4: Проверяем наши корни, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Для этого они должны быть $\ge 0$. Проверим $2x - 3 \ge 0$: Для $x_1 = 5$: $2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$. Это $\ge 0$, так что $x_1 = 5$ подходит. Для $x_2 = -4$: $2 \cdot (-4) - 3 = -8 - 3 = -11$. Это $< 0$, так что $x_2 = -4$ не подходит, потому что мы не можем брать корень четной степени из отрицательного числа. Проверим $x^2 + x - 23 \ge 0$: Для $x_1 = 5$: $5^2 + 5 - 23 = 25 + 5 - 23 = 30 - 23 = 7$. Это $\ge 0$, так что $x_1 = 5$ подходит. Для $x_2 = -4$: $(-4)^2 + (-4) - 23 = 16 - 4 - 23 = 12 - 23 = -11$. Это $< 0$, так что $x_2 = -4$ не подходит. **Ответ: $x = 5$**