Реши неравенства: $\sqrt{x^2-5x+6} < \sqrt{4x-14}$ и $\sqrt{2x^2+6x+3} \ge \sqrt{-x^2-4x}$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. ### Задание 3 $$\sqrt{x^2-5x+6} < \sqrt{4x-14}$$ Чтобы решить это неравенство, нужно сделать две вещи: 1. **Убедиться, что подкоренные выражения не отрицательные.** Ведь квадратный корень можно брать только из чисел, которые больше или равны нулю. То есть: $$\begin{cases} x^2-5x+6 \ge 0 \\ 4x-14 \ge 0 \end{cases}$$ 2. **Возвести обе части неравенства в квадрат.** Так как обе части неравенства неотрицательны (ведь это корни!), мы можем это сделать, и знак неравенства не изменится: $$x^2-5x+6 < 4x-14$$ Теперь решим каждое условие: **Решаем первое условие:** $x^2-5x+6 \ge 0$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Это числа 2 и 3. Так как парабола смотрит ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный, он равен 1), она будет выше оси X (то есть $\ge 0$) при $x \le 2$ или $x \ge 3$. **Решаем второе условие:** $4x-14 \ge 0$ $$4x \ge 14$$ $$x \ge \frac{14}{4}$$ $$x \ge 3.5$$ **Решаем третье условие:** $x^2-5x+6 < 4x-14$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$x^2-5x-4x+6+14 < 0$$ $$x^2-9x+20 < 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2-9x+20=0$. Снова по теореме Виета: сумма корней равна 9, произведение равно 20. Это числа 4 и 5. Так как парабола смотрит ветвями вверх, она будет ниже оси X (то есть $< 0$) при $4 < x < 5$. Теперь соберём все условия вместе и найдём их пересечение (то есть, что подходит всем условиям): 1. $x \le 2$ или $x \ge 3$ 2. $x \ge 3.5$ 3. $4 < x < 5$ Давай посмотрим на числовой прямой: 1. $---[2]---[3]--->$ 2. $-------[3.5]--->$ 3. $-----------(4)--(5)----->$ Если мы посмотрим на пересечение $x \ge 3$ и $x \ge 3.5$, то получим $x \ge 3.5$. Теперь пересечем это с $4 < x < 5$. Число $x$ должно быть больше или равно 3.5, и одновременно находиться между 4 и 5. Это значит, что $x$ должно быть больше 4, но меньше 5. **Ответ: $4 < x < 5$** ### Задание 4 $$\sqrt{2x^2+6x+3} \ge \sqrt{-x^2-4x}$$ Здесь тоже два главных шага: 1. **Убедиться, что подкоренные выражения неотрицательны:** $$\begin{cases} 2x^2+6x+3 \ge 0 \\ -x^2-4x \ge 0 \end{cases}$$ 2. **Возвести обе части неравенства в квадрат:** $$2x^2+6x+3 \ge -x^2-4x$$ Теперь решим каждое условие: **Решаем первое условие:** $2x^2+6x+3 \ge 0$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2+6x+3=0$ с помощью дискриминанта ($D=b^2-4ac$): $$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$$ Корни: $x_1 = \frac{-3-\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$. Приблизительно: $\sqrt{3} \approx 1.732$ $x_1 \approx \frac{-3-1.732}{2} = \frac{-4.732}{2} = -2.366$ $x_2 \approx \frac{-3+1.732}{2} = \frac{-1.268}{2} = -0.634$ Так как парабола $2x^2+6x+3$ смотрит ветвями вверх, она будет $\ge 0$ при $x \le \frac{-3-\sqrt{3}}{2}$ или $x \ge \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$. **Решаем второе условие:** $-x^2-4x \ge 0$ Вынесем $-x$ за скобки: $$-x(x+4) \ge 0$$ Умножим на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$x(x+4) \le 0$$ Корни: $x=0$ и $x=-4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, но так как мы умножили на $-1$, то знак неравенства поменялся, и мы ищем, где она $\le 0$. Это между корнями, включая их: $$-4 \le x \le 0$$ **Решаем третье условие:** $2x^2+6x+3 \ge -x^2-4x$ Перенесём всё в левую часть: $$2x^2+x^2+6x+4x+3 \ge 0$$ $$3x^2+10x+3 \ge 0$$ Найдём корни уравнения $3x^2+10x+3=0$ с помощью дискриминанта: $$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$$ $$x_1 = \frac{-10-8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$x_2 = \frac{-10+8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Так как парабола $3x^2+10x+3$ смотрит ветвями вверх, она будет $\ge 0$ при $x \le -3$ или $x \ge -\frac{1}{3}$. Теперь соберём все условия вместе: 1. $x \le \frac{-3-\sqrt{3}}{2}$ или $x \ge \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$ (то есть $x \le -2.366$ или $x \ge -0.634$) 2. $-4 \le x \le 0$ 3. $x \le -3$ или $x \ge -\frac{1}{3}$ (то есть $x \le -3$ или $x \ge -0.333$) Давай посмотрим на числовой прямой: 1. $---[-2.366]----[-0.634]--->$ 2. $---[-4]-----[0]--->$ 3. $---[-3]----[-0.333]--->$ Нам нужно найти пересечение всех этих интервалов. * Из второго условия: $x$ лежит от $-4$ до $0$. * Из первого условия: $x \le -2.366$ или $x \ge -0.634$. * Пересечение $[-4, 0]$ с $x \le -2.366$ даёт $[-4, -2.366]$. * Пересечение $[-4, 0]$ с $x \ge -0.634$ даёт $[-0.634, 0]$. * Итак, после первых двух условий у нас: $[-4, \frac{-3-\sqrt{3}}{2}]$ или $[\frac{-3+\sqrt{3}}{2}, 0]$. * Теперь пересечём это с третьим условием: $x \le -3$ или $x \ge -\frac{1}{3}$. * Первый интервал: $[-4, \frac{-3-\sqrt{3}}{2}]$. Мы знаем, что $\frac{-3-\sqrt{3}}{2} \approx -2.366$. Значит, этот интервал $[-4, -2.366]$. Нам нужно пересечь его с $x \le -3$. Пересечение будет $[-4, -3]$. * Второй интервал: $[\frac{-3+\sqrt{3}}{2}, 0]$. Мы знаем, что $\frac{-3+\sqrt{3}}{2} \approx -0.634$. Значит, этот интервал $[-0.634, 0]$. Нам нужно пересечь его с $x \ge -\frac{1}{3}$ (то есть $x \ge -0.333$). Пересечение будет $[-\frac{1}{3}, 0]$. Объединяем эти два полученных интервала. **Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [-\frac{1}{3}, 0]$**