Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Главное — помнить про правила возведения в степень и умножения степеней с одинаковыми основаниями. Когда возводим в степень произведение, каждый множитель возводим в эту степень. А когда умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываем.
а) $$\quad 2x^9 \cdot (-4a^2x^3)^2$$
Сначала раскроем скобки. Помни, что минус в квадрате даёт плюс:
$$= 2x^9 \cdot (-4)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (x^3)^2$$
$$= 2x^9 \cdot 16 \cdot a^{2\cdot2} \cdot x^{3\cdot2}$$
$$= 2x^9 \cdot 16a^4x^6$$
Теперь перемножим числа и степени с одинаковыми основаниями (x):
$$= (2 \cdot 16) \cdot a^4 \cdot (x^9 \cdot x^6)$$
$$= 32a^4x^{9+6}$$
$$= 32a^4x^{15}$$
**Ответ: $32a^4x^{15}$**
б) $$\quad (-a^3b^6)^5 \cdot 5ab^4$$
Раскроем скобки. Минус в нечётной степени остаётся минусом:
$$= (-1)^5 \cdot (a^3)^5 \cdot (b^6)^5 \cdot 5ab^4$$
$$= -1 \cdot a^{3\cdot5} \cdot b^{6\cdot5} \cdot 5ab^4$$
$$= -a^{15}b^{30} \cdot 5ab^4$$
Перемножим числа и степени с одинаковыми основаниями:
$$= (-1 \cdot 5) \cdot (a^{15} \cdot a^1) \cdot (b^{30} \cdot b^4)$$
$$= -5a^{15+1}b^{30+4}$$
$$= -5a^{16}b^{34}$$
**Ответ: $-5a^{16}b^{34}$**
в) $$\quad (-0.2m^3np^4)^2 \cdot 25mn^3p$$
Раскроем скобки. Минус в квадрате даст плюс:
$$= (-0.2)^2 \cdot (m^3)^2 \cdot n^2 \cdot (p^4)^2 \cdot 25mn^3p$$
$$= 0.04 \cdot m^{3\cdot2} \cdot n^2 \cdot p^{4\cdot2} \cdot 25mn^3p$$
$$= 0.04m^6n^2p^8 \cdot 25mn^3p$$
Перемножим числа и степени с одинаковыми основаниями:
$$= (0.04 \cdot 25) \cdot (m^6 \cdot m^1) \cdot (n^2 \cdot n^3) \cdot (p^8 \cdot p^1)$$
$$= 1 \cdot m^{6+1} \cdot n^{2+3} \cdot p^{8+1}$$
$$= m^7n^5p^9$$
**Ответ: $m^7n^5p^9$**
г) $$\quad -1\frac{2}{3}a^3b^6 \cdot (-\frac{3}{5}a^2b)^3$$
Сначала превратим смешанную дробь в неправильную: $$-1\frac{2}{3} = -\frac{1\cdot3+2}{3} = -\frac{5}{3}$$ Затем раскроем скобки. Минус в нечётной степени остаётся минусом:
$$= -\frac{5}{3}a^3b^6 \cdot (-\frac{3}{5})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3$$
$$= -\frac{5}{3}a^3b^6 \cdot (-\frac{3^3}{5^3}) \cdot a^{2\cdot3} \cdot b^3$$
$$= -\frac{5}{3}a^3b^6 \cdot (-\frac{27}{125}) \cdot a^6b^3$$
Перемножим числа (минус на минус даст плюс) и степени с одинаковыми основаниями:
$$= (\frac{5}{3} \cdot \frac{27}{125}) \cdot (a^3 \cdot a^6) \cdot (b^6 \cdot b^3)$$
Сократим дроби: $5$ и $125$ сократятся на $5$ ($1$ и $25$), $3$ и $27$ сократятся на $3$ ($1$ и $9$):
$$= (\frac{1}{1} \cdot \frac{9}{25}) \cdot a^{3+6} \cdot b^{6+3}$$
$$= \frac{9}{25}a^9b^9$$
**Ответ: $\frac{9}{25}a^9b^9$**
д) $$\quad 3\frac{1}{2}x^4y \cdot (\frac{4}{7}x^2y^3)^2$$
Превратим смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{1}{2} = \frac{3\cdot2+1}{2} = \frac{7}{2}$$ Раскроем скобки:
$$= \frac{7}{2}x^4y \cdot (\frac{4}{7})^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2$$
$$= \frac{7}{2}x^4y \cdot \frac{4^2}{7^2} \cdot x^{2\cdot2} \cdot y^{3\cdot2}$$
$$= \frac{7}{2}x^4y \cdot \frac{16}{49} \cdot x^4y^6$$
Перемножим числа и степени с одинаковыми основаниями:
$$= (\frac{7}{2} \cdot \frac{16}{49}) \cdot (x^4 \cdot x^4) \cdot (y^1 \cdot y^6)$$
Сократим дроби: $7$ и $49$ сократятся на $7$ ($1$ и $7$), $2$ и $16$ сократятся на $2$ ($1$ и $8$):
$$= (\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{7}) \cdot x^{4+4} \cdot y^{1+6}$$
$$= \frac{8}{7}x^8y^7$$
**Ответ: $\frac{8}{7}x^8y^7$**
е) $$\quad (-\frac{1}{3}a^5b^9)^3 \cdot (-3ab)^4$$
Раскроем первые скобки (минус в нечётной степени останется минусом), затем вторые скобки (минус в чётной степени даст плюс):
$$= (-\frac{1}{3})^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (b^9)^3 \cdot (-3)^4 \cdot a^4 \cdot b^4$$
$$= -\frac{1^3}{3^3} \cdot a^{5\cdot3} \cdot b^{9\cdot3} \cdot 81 \cdot a^4b^4$$
$$= -\frac{1}{27}a^{15}b^{27} \cdot 81a^4b^4$$
Перемножим числа и степени с одинаковыми основаниями:
$$= (-\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^{15} \cdot a^4) \cdot (b^{27} \cdot b^4)$$
Сократим числа: $81$ делится на $27$, будет $3$:
$$= (-1 \cdot 3) \cdot a^{15+4} \cdot b^{27+4}$$
$$= -3a^{19}b^{31}$$
**Ответ: $-3a^{19}b^{31}$**
