Найди корни уравнения 5 cos^2 x + 11 cos x - 12 = 0

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Оно похоже на обычное квадратное уравнение, только вместо буквы $x$ у нас $\cos x$. Итак, наше уравнение: $$5 \cos^2 x + 11 \cos x - 12 = 0$$ Давай сделаем замену, чтобы было понятнее. Пусть $y = \cos x$. Тогда уравнение примет вид: $$5y^2 + 11y - 12 = 0$$ Это квадратное уравнение! Мы можем найти его корни с помощью формулы: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем уравнении $a = 5$, $b = 11$, $c = -12$. Подставим эти значения: $$y = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12)}}{2 \cdot 5}$$ Сначала посчитаем то, что под корнем: $$11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 - (-240) = 121 + 240 = 361$$ Теперь продолжим вычисления: $$y = \frac{-11 \pm \sqrt{361}}{10}$$ А $\sqrt{361} = 19$. Значит: $$y = \frac{-11 \pm 19}{10}$$ У нас будет два значения для $y$: 1. $$y_1 = \frac{-11 + 19}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ 2. $$y_2 = \frac{-11 - 19}{10} = \frac{-30}{10} = -3$$ Теперь вернёмся к нашей замене $y = \cos x$. Случай 1: $\cos x = \frac{4}{5}$ Мы знаем, что значение косинуса всегда должно быть от $-1$ до $1$. Число $\frac{4}{5}$ (или $0.8$) как раз подходит. Значит, $x = \pm \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число. Случай 2: $\cos x = -3$ Это значение нам не подходит, потому что косинус не может быть меньше $-1$. Значит, здесь нет решений. **Ответ:** Корнями уравнения являются $x = \pm \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).