Найди корни уравнения $5 \cos^2 x + 11 \cos x - 12 = 0$

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Оно очень похоже на обычное квадратное уравнение, если заменить $\cos x$ на какую-нибудь букву, например, $y$. Пусть $y = \cos x$. Тогда наше уравнение станет таким: $$5y^2 + 11y - 12 = 0$$ Теперь найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. У нас $a = 5$, $b = 11$, $c = -12$. $$D = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361$$ Отлично! Теперь найдём $y$ по формуле: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$y_1 = \frac{-11 + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-11 + 19}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ $$y_2 = \frac{-11 - \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-11 - 19}{10} = \frac{-30}{10} = -3$$ Теперь вернёмся к нашей замене $y = \cos x$. У нас получилось два случая: 1. $\cos x = \frac{4}{5}$ Так как значение $\frac{4}{5}$ находится между $-1$ и $1$, то это уравнение имеет решения. Мы можем записать их так: $$x = \pm \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\cos x = -3$ А вот это уравнение не имеет решений, потому что косинус не может быть меньше $-1$ или больше $1$. Он всегда находится в пределах от $-1$ до $1$. Итак, наше уравнение имеет только одно семейство решений. **Ответ:** $x = \pm \arccos\left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$