Разложи на множители выражение $\frac{1-5y+25y^2}{125y^3+1}$

Привет! Давай разберемся с этим выражением. Заметим, что знаменатель $125y^3+1$ — это сумма кубов. Формула суммы кубов выглядит так: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $a^3 = 125y^3$, значит $a = 5y$. А $b^3 = 1$, значит $b = 1$. Тогда знаменатель можно разложить на множители: $125y^3+1 = (5y+1)((5y)^2 - 5y \cdot 1 + 1^2) = (5y+1)(25y^2 - 5y + 1)$. Теперь подставим это обратно в нашу дробь: $$\frac{1-5y+25y^2}{(5y+1)(25y^2-5y+1)}$$ Мы видим, что выражение $1-5y+25y^2$ в числителе точно такое же, как $25y^2-5y+1$ в знаменателе. Значит, их можно сократить! Главное, чтобы это выражение не было равно нулю. Сокращаем: $$\frac{\cancel{1-5y+25y^2}}{(5y+1)(\cancel{25y^2-5y+1})} = \frac{1}{5y+1}$$ **Ответ:** $$\frac{1}{5y+1}$$