Реши задачи на обратную пропорциональность

Привет! Давай разберёмся с этими интересными задачами по математике. Они все про то, как количество чего-либо (рабочих, труб, станков) влияет на время, или как скорость влияет на расход. Это задачи на обратную пропорциональность, где если одна величина увеличивается, то другая уменьшается. Вот как мы будем их решать: ### Задачи средней сложности: **3. Бригада из 8 маляров может покрасить фасад дома за 15 дней. За сколько дней справится с этой работой бригада из 12 маляров?** Смотри, если маляров становится больше, то они, конечно же, справятся с работой быстрее, верно? Значит, количество маляров и время работы связаны обратной зависимостью. * **Шаг 1: Определяем, что нам известно.** * У нас есть 8 маляров, и они красят дом за 15 дней. * Нам нужно узнать, за сколько дней справятся 12 маляров. * **Шаг 2: Записываем это в виде пропорции.** Пусть $x$ – это количество дней, за которое справятся 12 маляров. Мы можем записать так: $$8 \text{ маляров} \longleftrightarrow 15 \text{ дней}$$ $$12 \text{ маляров} \longleftrightarrow x \text{ дней}$$ * **Шаг 3: Используем правило для обратной пропорциональности.** Если зависимость обратная, то произведение величин в первом случае равно произведению величин во втором случае. То есть: $$8 \cdot 15 = 12 \cdot x$$ * **Шаг 4: Решаем уравнение.** $$120 = 12x$$ Чтобы найти $x$, нужно разделить 120 на 12: $$x = \frac{120}{12}$$ $$x = 10$$ Значит, 12 маляров справятся с работой за 10 дней. **Ответ: 10 дней** --- **4. При движении со скоростью 72 км/ч автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 км. Сколько литров будет расходоваться при скорости 90 км/ч, если известно, что расход обратно пропорционален скорости?** Эта задача говорит нам, что расход бензина *обратно пропорционален* скорости. Обычно в жизни бывает наоборот – чем быстрее едешь, тем больше бензина расходуешь. Но в этой задаче есть особое условие, и мы должны ему следовать! Значит, если скорость увеличивается, то расход бензина на 100 км по условию задачи должен уменьшаться. * **Шаг 1: Определяем, что нам известно.** * Скорость $V_1 = 72$ км/ч, расход $R_1 = 8$ литров на 100 км. * Новая скорость $V_2 = 90$ км/ч. * Нам нужно найти новый расход $R_2$ на 100 км. * **Шаг 2: Записываем это в виде пропорции, учитывая обратную зависимость.** $$72 \text{ км/ч} \longleftrightarrow 8 \text{ литров}$$ $$90 \text{ км/ч} \longleftrightarrow R_2 \text{ литров}$$ * **Шаг 3: Используем правило для обратной пропорциональности.** Произведение скорости на расход должно быть постоянным: $$V_1 \cdot R_1 = V_2 \cdot R_2$$ $$72 \cdot 8 = 90 \cdot R_2$$ * **Шаг 4: Решаем уравнение.** Сначала умножим 72 на 8: $$576 = 90 \cdot R_2$$ Чтобы найти $R_2$, нужно разделить 576 на 90: $$R_2 = \frac{576}{90}$$ Давай разделим столбиком: $$\begin{array}{r|l} 576 \\ \underline{-540} \hphantom{5} & 90 \\ \cline{2-2} 360 \hphantom{} & 6,4 \\ \underline{-360} \hphantom{} \\ 0 \end{array}$$ Значит, $R_2 = 6,4$ литра. **Ответ: 6,4 литра** --- ### Сложные задачи: **5. Для наполнения бассейна через 4 трубы требуется 36 часов. За какое время наполнится бассейн через 6 таких труб?** Эта задача похожа на задачу про маляров. Чем больше труб будет работать, тем быстрее наполнится бассейн, верно? Значит, количество труб и время наполнения бассейна связаны обратной зависимостью. * **Шаг 1: Определяем, что нам известно.** * 4 трубы наполняют бассейн за 36 часов. * Нам нужно узнать, за сколько часов наполнят бассейн 6 труб. * **Шаг 2: Записываем это в виде пропорции.** Пусть $t$ – это время в часах, за которое наполнится бассейн через 6 труб. $$4 \text{ трубы} \longleftrightarrow 36 \text{ часов}$$ $$6 \text{ труб} \longleftrightarrow t \text{ часов}$$ * **Шаг 3: Используем правило для обратной пропорциональности.** $$4 \cdot 36 = 6 \cdot t$$ * **Шаг 4: Решаем уравнение.** Сначала умножим 4 на 36: $$144 = 6t$$ Чтобы найти $t$, нужно разделить 144 на 6: $$t = \frac{144}{6}$$ $$t = 24$$ Значит, через 6 труб бассейн наполнится за 24 часа. **Ответ: 24 часа** --- **6. 15 станков производят партию деталей за 12 часов. За какое время эту же партию изготовят 20 станков при той же производительности?** И снова, если мы увеличиваем количество станков, которые делают одну и ту же работу (партию деталей), то они справятся с этой работой быстрее. Это тоже обратная зависимость! * **Шаг 1: Определяем, что нам известно.** * 15 станков производят детали за 12 часов. * Нам нужно узнать, за сколько часов изготовят партию 20 станков. * **Шаг 2: Записываем это в виде пропорции.** Пусть $T$ – это время в часах, за которое 20 станков изготовят партию. $$15 \text{ станков} \longleftrightarrow 12 \text{ часов}$$ $$20 \text{ станков} \longleftrightarrow T \text{ часов}$$ * **Шаг 3: Используем правило для обратной пропорциональности.** $$15 \cdot 12 = 20 \cdot T$$ * **Шаг 4: Решаем уравнение.** Сначала умножим 15 на 12: $$180 = 20T$$ Чтобы найти $T$, нужно разделить 180 на 20: $$T = \frac{180}{20}$$ $$T = 9$$ Значит, 20 станков изготовят ту же партию деталей за 9 часов. **Ответ: 9 часов**