Представь трёхчлен в виде квадрата двучлена: a) $a^6 - 6a^3b + 9b^2$

Привет! Чтобы представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, нужно вспомнить формулы сокращённого умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ Нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы наше выражение совпадало с одной из этих формул. Давай попробуем: a) $$a^6 - 6a^3b + 9b^2$$ Здесь $x^2 = a^6$, значит $x = a^3$. И $y^2 = 9b^2$, значит $y = 3b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot a^3 \cdot 3b = 6a^3b$. У нас в выражении $-6a^3b$, значит подходит формула для $(x-y)^2$. **Ответ: $$(a^3 - 3b)^2$$** б) $$9a^2 + 6ab + b^2$$ Здесь $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot b = 6ab$. Это совпадает с нашим выражением. **Ответ: $$(3a + b)^2$$** в) $$\frac{4}{9}a^2 - 2ab + \frac{9}{4}b^2$$ Здесь $x^2 = \frac{4}{9}a^2$, значит $x = \frac{2}{3}a$. И $y^2 = \frac{9}{4}b^2$, значит $y = \frac{3}{2}b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot \frac{3}{2}b = 2ab$. У нас в выражении $-2ab$, значит подходит формула для $(x-y)^2$. **Ответ: $$\left(\frac{2}{3}a - \frac{3}{2}b\right)^2$$** г) $$\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$$ Здесь $x^2 = \frac{1}{4}a^2$, значит $x = \frac{1}{2}a$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot b = ab$. У нас в выражении $-ab$, значит подходит формула для $(x-y)^2$. **Ответ: $$\left(\frac{1}{2}a - b\right)^2$$** д) $$1 - 2ab + a^2b^2$$ Здесь $x^2 = 1$, значит $x = 1$. И $y^2 = a^2b^2$, значит $y = ab$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot 1 \cdot ab = 2ab$. У нас в выражении $-2ab$, значит подходит формула для $(x-y)^2$. **Ответ: $$(1 - ab)^2$$** e) $$a^4 + 2a^2b + b^2$$ Здесь $x^2 = a^4$, значит $x = a^2$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot b = 2a^2b$. Это совпадает с нашим выражением. **Ответ: $$(a^2 + b)^2$$** ж) $$4a^2 + 4ab + b^2$$ Здесь $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot b = 4ab$. Это совпадает с нашим выражением. **Ответ: $$(2a + b)^2$$** з) $$4a^2 - 4ab + b^2$$ Здесь $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot b = 4ab$. У нас в выражении $-4ab$, значит подходит формула для $(x-y)^2$. **Ответ: $$(2a - b)^2$$** и) $$\frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{7}{9}b^2$$ Давай проверим эту формулу. $x^2 = \frac{9}{16}a^2$, значит $x = \frac{3}{4}a$. А $y^2 = \frac{7}{9}b^2$, значит $y = \sqrt{\frac{7}{9}}b = \frac{\sqrt{7}}{3}b$. Теперь проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}b = \frac{\sqrt{7}}{2}ab$. Это не равно $2ab$. Значит, этот трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена. **Допущение: Возможно, в условии ошибка, и вместо $\frac{7}{9}b^2$ должно быть другое число, например, чтобы это было полным квадратом, средний член $2ab$ должен быть $2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot y$, тогда $y = \frac{4}{3}b$. Тогда $y^2 = (\frac{4}{3}b)^2 = \frac{16}{9}b^2$. Если бы было $\frac{16}{9}b^2$, тогда: $$\frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2 = \left(\frac{3}{4}a - \frac{4}{3}b\right)^2$$** к) $$\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$$ Здесь $x^2 = \frac{1}{4}a^2$, значит $x = \frac{1}{2}a$. И $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим среднее слагаемое: $2xy = 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot b = ab$. Это совпадает с нашим выражением. **Ответ: $$\left(\frac{1}{2}a + b\right)^2$$**