Реши уравнение $\frac{6-x}{1-x^2} - \frac{x+3}{x-x^2} = \frac{x+5}{x+x^2}$

Привет! Давай разберём это уравнение по шагам. Сначала нужно найти такие значения $x$, при которых знаменатели не будут равны нулю, чтобы наше выражение имело смысл. Это так называемые *ограничения* или *область допустимых значений* (ОДЗ). Запишем наши знаменатели и приравняем их к нулю: 1. $1-x^2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$ 2. $x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 1$ 3. $x+x^2=0 \Rightarrow x(1+x)=0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -1$ Значит, $x$ не может быть равен $0$, $1$ и $-1$. Это очень важно помнить! Теперь давай упростим каждый знаменатель, разложив его на множители: 1. $1-x^2 = (1-x)(1+x)$ (это формула разности квадратов) 2. $x-x^2 = x(1-x)$ 3. $x+x^2 = x(1+x)$ Перепишем наше уравнение с этими разложенными знаменателями: $$\frac{6-x}{(1-x)(1+x)} - \frac{x+3}{x(1-x)} = \frac{x+5}{x(1+x)}$$ Чтобы избавиться от дробей, нужно умножить всё уравнение на общий знаменатель. Общий знаменатель для всех дробей будет $x(1-x)(1+x)$. Давай умножим каждую дробь на общий знаменатель и посмотрим, что получится: $$\frac{(6-x) \cdot x(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} - \frac{(x+3) \cdot x(1-x)(1+x)}{x(1-x)} = \frac{(x+5) \cdot x(1-x)(1+x)}{x(1+x)}$$ Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: 1. Для первой дроби сократятся $(1-x)$ и $(1+x)$, останется $x(6-x)$. 2. Для второй дроби сократятся $x$ и $(1-x)$, останется $(x+3)(1+x)$. 3. Для третьей дроби сократятся $x$ и $(1+x)$, останется $(x+5)(1-x)$. Получаем такое уравнение: $$x(6-x) - (x+3)(1+x) = (x+5)(1-x)$$ Раскроем скобки: 1. $x(6-x) = 6x - x^2$ 2. $(x+3)(1+x) = x \cdot 1 + x \cdot x + 3 \cdot 1 + 3 \cdot x = x + x^2 + 3 + 3x = x^2 + 4x + 3$ 3. $(x+5)(1-x) = x \cdot 1 + x \cdot (-x) + 5 \cdot 1 + 5 \cdot (-x) = x - x^2 + 5 - 5x = -x^2 - 4x + 5$ Подставим это обратно в уравнение: $$(6x - x^2) - (x^2 + 4x + 3) = (-x^2 - 4x + 5)$$ Раскроем скобки, внимательно следя за знаками: $$6x - x^2 - x^2 - 4x - 3 = -x^2 - 4x + 5$$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$(6x - 4x) + (-x^2 - x^2) - 3 = -x^2 - 4x + 5$$ $$2x - 2x^2 - 3 = -x^2 - 4x + 5$$ Теперь перенесём все слагаемые в одну сторону, например, в левую, чтобы в правой части остался ноль: $$2x - 2x^2 - 3 + x^2 + 4x - 5 = 0$$ Снова приведём подобные слагаемые: $$(2x + 4x) + (-2x^2 + x^2) + (-3 - 5) = 0$$ $$6x - x^2 - 8 = 0$$ Умножим всё на $-1$, чтобы перед $x^2$ был плюс, так решать квадратные уравнения обычно удобнее: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Мы получили квадратное уравнение! Его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Давай используем теорему Виета, если ты с ней знаком. Она говорит, что сумма корней равна $6$ (коэффициент перед $x$ с обратным знаком), а произведение корней равно $8$. Какие два числа в произведении дают $8$, а в сумме $6$? Это $2$ и $4$! Значит, наши корни: $x_1 = 2$ $x_2 = 4$ Теперь очень важно вспомнить про ограничения, которые мы нашли в самом начале: $x$ не может быть равен $0$, $1$ и $-1$. Наши корни $2$ и $4$ не попадают под эти ограничения, значит, они подходят. **Ответ:** $x_1 = 2$, $x_2 = 4$