Реши уравнение 8x - 9 * 2x+1 + 25-x = 0 и укажи корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [log52; log520].

Привет! Давай разберемся с этим уравнением. ### а) Решить уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$ Сначала упростим степени: $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$ $2^{5-x} = 2^5 \cdot 2^{-x} = 32 \cdot \frac{1}{2^x}$ Подставим это обратно в уравнение: $$2^{3x} - 9 \cdot (2 \cdot 2^x) + 32 \cdot \frac{1}{2^x} = 0$$ $$2^{3x} - 18 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} = 0$$ Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на $2^x$. Но сначала давай введем замену, чтобы было проще. **Допущение:** $2^x = y$, при этом $y > 0$, так как $2^x$ всегда больше нуля. Теперь наше уравнение выглядит так: $$y^3 - 18y + \frac{32}{y} = 0$$ Умножим всё на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$): $$y^4 - 18y^2 + 32 = 0$$ Это биквадратное уравнение! Давай сделаем ещё одну замену: **Допущение:** $y^2 = t$, при этом $t > 0$, так как $y^2$ должно быть положительным. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 - 18t + 32 = 0$$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$): $D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 - 128 = 196$ $\\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$ Теперь найдем значения $t$: $t_1 = \frac{-(-18) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 14}{2} = \frac{32}{2} = 16$ $t_2 = \frac{-(-18) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Оба значения $t$ положительные, значит, подходят. Теперь вернёмся к замене $y^2 = t$: 1) Если $t_1 = 16$, то $y^2 = 16$. Значит, $y = 4$ или $y = -4$. 2) Если $t_2 = 2$, то $y^2 = 2$. Значит, $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$. Вспомним, что мы договаривались, что $y > 0$. Значит, выбираем только положительные значения $y$: $y_1 = 4$ $y_2 = \sqrt{2}$ Теперь вернёмся к самой первой замене $2^x = y$: 1) Если $y_1 = 4$, то $2^x = 4$. Мы знаем, что $4 = 2^2$, поэтому $2^x = 2^2$, откуда $x = 2$. 2) Если $y_2 = \sqrt{2}$, то $2^x = \sqrt{2}$. Мы знаем, что $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, поэтому $2^x = 2^{\frac{1}{2}}$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Итак, у нас есть два корня уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. ### б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[log_52; log_520]$. Нам нужно проверить, какие из наших корней ($x=2$ и $x=\frac{1}{2}$) попадают в промежуток $[log_52; log_520]$. Давай оценим границы промежутка: $log_52$ — это число, в какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 2. Мы знаем, что $5^0 = 1$ и $5^1 = 5$, значит $log_52$ находится между 0 и 1. Оно ближе к 0, потому что 2 ближе к 1, чем к 5. Например, $5^{0.5} \approx 2.23$, так что $log_52$ будет меньше 0.5. $log_520$ — это число, в какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 20. Мы знаем, что $5^1 = 5$ и $5^2 = 25$, значит $log_520$ находится между 1 и 2. Оно ближе к 2, потому что 20 ближе к 25, чем к 5. Таким образом, наш промежуток примерно $[0.something; 1.something]$. Теперь проверим наши корни: 1) $x_1 = 2$ Сравниваем $2$ с границами: $log_52 < 2$. А вот $2$ и $log_520$: $2 > log_520$ (потому что $5^2 = 25$, а у нас $log_520$, значит 20 меньше 25, а логарифм будет меньше 2). Значит, $2$ не входит в промежуток, потому что $log_520 < 2$. 2) $x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ Сравниваем $0.5$ с границами: $log_52 < 0.5$? Да, потому что $5^{0.5} = \sqrt{5} \approx 2.23$, а у нас $2$. Значит $log_52 < 0.5$. $0.5 < log_520$? Да, потому что $log_520$ это число между 1 и 2. Получается, что $log_52 < 0.5 < log_520$. Корень $x = 0.5$ принадлежит промежутку. **Ответ:** **а) Корни уравнения: $x=2$ и $x=\frac{1}{2}$.** **б) Корни уравнения, принадлежащие промежутку $[log_52; log_520]$: $x=\frac{1}{2}$.**