Вычисли дробное выражение: $\frac{2\frac{2}{7} \times 2,4 \times 1\frac{5}{9} \times 1\frac{9}{16}}{3\frac{1}{3} \times 1,125 \times 1\frac{5}{7} \times 1\frac{7}{9}}$

Привет! Давай вместе вычислим это выражение. Сначала переведём все смешанные дроби и десятичные дроби в обыкновенные. ### Перевод в обыкновенные дроби * $2\frac{2}{7} = \frac{2 \times 7 + 2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}$ * $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ * $1\frac{5}{9} = \frac{1 \times 9 + 5}{9} = \frac{9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$ * $1\frac{9}{16} = \frac{1 \times 16 + 9}{16} = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$ * $3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ * $1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8}$ (поделили числитель и знаменатель на 125) * $1\frac{5}{7} = \frac{1 \times 7 + 5}{7} = \frac{7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$ * $1\frac{7}{9} = \frac{1 \times 9 + 7}{9} = \frac{9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$ Теперь подставим эти дроби в наше большое выражение: $$\frac{\frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16}}{\frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9}}$$ ### Упрощение числителя Давай сначала умножим все дроби в числителе. Постараемся сократить, где это возможно: $$\frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16} = \frac{\cancel{16}}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{\cancel{16}}$$ Мы сократили 16. Теперь продолжим сокращать: $$ = \frac{1}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{\cancel{14}^{\;2}}{9} \times \frac{25}{1} = \frac{1}{1} \times \frac{12}{\cancel{5}^{\;1}} \times \frac{2}{9} \times \frac{\cancel{25}^{\;5}}{1} $$ Мы сократили 7 и 14 (на 7), и 5 и 25 (на 5). Осталось: $$ = \frac{12 \times 2 \times 5}{9} = \frac{120}{9} $$ Эту дробь можно ещё сократить на 3: $$ = \frac{120 \div 3}{9 \div 3} = \frac{40}{3} $$ Итак, числитель равен $\frac{40}{3}$. ### Упрощение знаменателя Теперь умножим все дроби в знаменателе, тоже сокращая, где возможно: $$\frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9}$$ Сократим 3 и 9 (на 3): $$ = \frac{10}{\cancel{3}^{\;1}} \times \frac{\cancel{9}^{\;3}}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9} = \frac{10}{1} \times \frac{3}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9} $$ Сократим 8 и 16 (на 8): $$ = \frac{10}{1} \times \frac{3}{\cancel{8}^{\;1}} \times \frac{12}{7} \times \frac{\cancel{16}^{\;2}}{9} = \frac{10}{1} \times \frac{3}{1} \times \frac{12}{7} \times \frac{2}{9} $$ Теперь сократим 3 и 9 (на 3): $$ = \frac{10}{1} \times \frac{\cancel{3}^{\;1}}{1} \times \frac{12}{7} \times \frac{2}{\cancel{9}^{\;3}} = \frac{10}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{12}{7} \times \frac{2}{3} $$ И ещё сократим 12 и 3 (на 3): $$ = \frac{10}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{\cancel{12}^{\;4}}{7} \times \frac{2}{\cancel{3}^{\;1}} = \frac{10 \times 4 \times 2}{7} = \frac{80}{7} $$ Итак, знаменатель равен $\frac{80}{7}$. ### Деление дробей Теперь нам нужно разделить числитель на знаменатель: $$\frac{\frac{40}{3}}{\frac{80}{7}}$$ Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевёрнутую вторую: $$ \frac{40}{3} \div \frac{80}{7} = \frac{40}{3} \times \frac{7}{80} $$ Сократим 40 и 80 (на 40): $$ = \frac{\cancel{40}^{\;1}}{3} \times \frac{7}{\cancel{80}^{\;2}} = \frac{1 \times 7}{3 \times 2} = \frac{7}{6} $$ **Ответ:** $\frac{7}{6}$