Представь в простейшем виде дробь, числитель которой равен 5/36 от 720, а знаменатель равен наименьшему общему кратному чисел 20, 30 и 75.

Привет! Давай вместе разберемся с этой интересной задачей. Нам нужно найти дробь, а потом упростить ее. Сначала найдем, что будет сверху (числитель), а потом — что будет снизу (знаменатель). ### Шаг 1: Находим числитель дроби В задании сказано, что числитель равен $\frac{5}{36}$ от числа 720. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить эту дробь на число. 1. Запишем это как умножение: $$ \text{Числитель} = \frac{5}{36} \times 720 $$ 2. Чтобы было легче считать, мы можем сначала разделить 720 на 36, а потом умножить на 5. Давай разделим 720 на 36 столбиком: $$ \begin{array}{r|l} 720 \hphantom{0} & 36 \\ \hline \underline{-72} \hphantom{00} & 20 \\ 00 \hphantom{0}\\\\ \underline{-0} \hphantom{0}\\\\ 0 \\ \end{array} $$ Получилось 20. 3. Теперь умножим 5 на полученное число: $$ \text{Числитель} = 5 \times 20 = 100 $$ Итак, мы нашли числитель нашей дроби – это 100. ### Шаг 2: Находим знаменатель дроби В задании сказано, что знаменатель равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел 20, 30 и 75. Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы его найти, разложим каждое число на простые множители. 1. Разложим число 20 на простые множители: $$ 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5^1 $$ 2. Разложим число 30 на простые множители: $$ 30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 $$ 3. Разложим число 75 на простые множители: $$ 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5 \times 5 = 3^1 \times 5^2 $$ 4. Теперь, чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель, который встречается в разложениях, с наибольшим показателем степени: * Множитель 2: самая большая степень – $2^2$ (из числа 20). * Множитель 3: самая большая степень – $3^1$ (из чисел 30 и 75). * Множитель 5: самая большая степень – $5^2$ (из числа 75). 5. Перемножим эти множители: $$ \text{НОК}(20, 30, 75) = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 $$ $$ \text{НОК}(20, 30, 75) = 12 \times 25 $$ Умножим 12 на 25: $$ 12 \times 25 = 300 $$ Итак, мы нашли знаменатель нашей дроби – это 300. ### Шаг 3: Составляем дробь Теперь у нас есть числитель (100) и знаменатель (300). Составляем дробь: $$ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{100}{300} $$ ### Шаг 4: Представляем дробь в простейшем виде Чтобы представить дробь в простейшем виде, нужно сократить ее, то есть разделить и числитель, и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, и 100, и 300 легко делятся на 100. 1. Разделим числитель на 100: $$ 100 \div 100 = 1 $$ 2. Разделим знаменатель на 100: $$ 300 \div 100 = 3 $$ 3. Получаем новую дробь: $$ \frac{1}{3} $$ Эту дробь уже нельзя сократить, потому что у 1 и 3 нет общих делителей, кроме 1. Значит, это и есть простейший вид. **Ответ: $\frac{1}{3}$**