Как найти катеты равнобедренного прямоугольного треугольника, зная гипотенузу?

Привет! Это очень хороший и внимательный вопрос! Давай разберемся с ним вместе. Ты правильно заметила, что треугольник $CBH_2$ является прямоугольным, потому что $BH_2$ — это высота, а значит, угол $CH_2B$ равен $90^\circ$. Также по условию, угол $BCH_2 = 45^\circ$. А если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол тоже будет равен $45^\circ$ (ведь сумма углов в треугольнике $180^\circ$, а $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Значит, угол $CBH_2 = 45^\circ$. Раз углы при основании $BC$ равны ($45^\circ$ и $45^\circ$), то этот треугольник не только прямоугольный, но ещё и равнобедренный! А это значит, что его катеты равны: $CH_2 = BH_2$. Теперь давай вспомним теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем треугольнике $CBH_2$: $BC^2 = BH_2^2 + CH_2^2$ Так как $BH_2 = CH_2$, мы можем подставить это в формулу: $$BC^2 = CH_2^2 + CH_2^2$$ $$BC^2 = 2 \cdot CH_2^2$$ Теперь, чтобы найти катет $CH_2$, нужно выразить его из этой формулы: $$CH_2^2 = \frac{BC^2}{2}$$ $$CH_2 = \sqrt{\frac{BC^2}{2}}$$ В твоём задании гипотенуза $BC$ равна $9\sqrt{2}$ см. Подставим это значение: $$CH_2 = \sqrt{\frac{(9\sqrt{2})^2}{2}}$$ Возведем $9\sqrt{2}$ в квадрат: $$(9\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$$ Теперь подставим это число обратно в формулу для $CH_2$: $$CH_2 = \sqrt{\frac{162}{2}}$$ $$CH_2 = \sqrt{81}$$ $$CH_2 = 9 \text{ см}$$ Ты спрашиваешь, верно ли, что для равнобедренного прямоугольного треугольника, чтобы найти равные катеты, можно просто разделить гипотенузу на 2. Твоя мысль очень близка к правильной, но есть небольшое уточнение: катет равен гипотенузе, делённой не на 2, а на $\sqrt{2}$! Давай посмотрим: Мы знаем, что $BC = CH_2 \cdot \sqrt{2}$. Значит, чтобы найти $CH_2$, нужно $BC$ разделить на $\sqrt{2}$: $$CH_2 = \frac{BC}{\sqrt{2}}$$ Подставим $BC = 9\sqrt{2}$: $$CH_2 = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$ $$CH_2 = 9 \text{ см}$$ Как видишь, результат тот же! Таким образом, метод, который показан в задаче ($CH_2 = \sqrt{\frac{BC^2}{2}}$), абсолютно верный, и он математически эквивалентен тому, чтобы разделить гипотенузу на $\sqrt{2}$. **Вывод:** Для равнобедренного прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна $a$, то каждый катет равен $a$ / $\sqrt{2}$. Твоя идея с делением гипотенузы верна, но нужно делить на $\sqrt{2}$, а не на 2.