Упрости выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$

Привет! Давай вместе разберемся с этим выражением. Нам нужно сложить две дроби.\ \ Чтобы сложить дроби, у них должен быть одинаковый «низ», то есть одинаковый знаменатель. Давай шаг за шагом это сделаем.\ \ 1. **Находим общий знаменатель.**\ У нас есть знаменатели $x$ и $x-1$. Чтобы найти общий знаменатель, мы их просто перемножаем. Общий знаменатель будет $x(x-1)$.\ \ 2. **Приводим каждую дробь к общему знаменателю.**\ * Для первой дроби $\frac{1}{x}$: чтобы в знаменателе получилось $x(x-1)$, нужно умножить $x$ на $(x-1)$. Значит, и числитель (верх) этой дроби мы тоже умножаем на $(x-1)$.\ $$\frac{1}{x} = \frac{1 \cdot (x-1)}{x \cdot (x-1)} = \frac{x-1}{x(x-1)}$$\ * Для второй дроби $\frac{1}{x-1}$: чтобы в знаменателе получилось $x(x-1)$, нужно умножить $(x-1)$ на $x$. Значит, и числитель этой дроби мы тоже умножаем на $x$.\ $$\frac{1}{x-1} = \frac{1 \cdot x}{(x-1) \cdot x} = \frac{x}{x(x-1)}$$\ \ 3. **Складываем получившиеся дроби.**\ Теперь у обеих дробей одинаковый знаменатель, и мы можем просто сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.\ $$\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{x}{x(x-1)} = \frac{(x-1) + x}{x(x-1)}$$\ \ 4. **Упрощаем числитель.**\ Складываем $x$ и $x$ в числителе:\ $$(x-1) + x = x - 1 + x = 2x - 1$$\ \ Итак, наше выражение после всех преобразований выглядит так:\ $$\frac{2x-1}{x(x-1)}$$\ \ Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.\ \ **Ответ:** $\frac{2x-1}{x(x-1)}$