Разложи дробь \(\frac{8x+3}{x(x^2+7)}\)

Привет! Похоже, у нас тут задачка на разложение дроби. Если ты видишь дробь, как эта, и в задании не сказано, что делать, то, скорее всего, нужно разложить её на "простые" дроби, которые называются частными дробями. Это очень удобно, когда потом нужно будет, например, интегрировать такую дробь в старших классах! **Допущение:** Я предполагаю, что твоё задание — разложить данную дробь на сумму простейших дробей (метод частных дробей). Давай разберёмся по шагам, как это делается: **Шаг 1: Разложим знаменатель на множители.** У нас уже есть разложенный знаменатель: $$x(x^2+7)$$. Здесь есть два множителя: * Первый множитель — это $$x$$ (простой линейный множитель). * Второй множитель — это $$x^2+7$$ (это так называемый неразложимый квадратный множитель, потому что уравнение $$x^2+7=0$$ не имеет решений среди действительных чисел, так как $$x^2$$ не может быть отрицательным числом). **Шаг 2: Запишем дробь в виде суммы простейших дробей.** Для каждого типа множителя в знаменателе мы ставим свою простую дробь: * Для множителя $$x$$ в числителе будет просто константа (число), пусть это будет $$A$$. То есть, $$\frac{A}{x}$$. * Для множителя $$x^2+7$$ в числителе будет выражение вида $$Bx+C$$. То есть, $$\frac{Bx+C}{x^2+7}$$. Получаем такое равенство: $$\frac{8x+3}{x(x^2+7)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+7}$$ **Шаг 3: Приведём правую часть к общему знаменателю.** Общий знаменатель, конечно же, будет $$x(x^2+7)$$. $$\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+7} = \frac{A(x^2+7)}{x(x^2+7)} + \frac{(Bx+C)x}{x(x^2+7)} = \frac{A(x^2+7) + (Bx+C)x}{x(x^2+7)}$$ **Шаг 4: Приравняем числители.** Так как знаменатели у левой и правой части стали одинаковыми, то и числители должны быть равны: $$8x+3 = A(x^2+7) + (Bx+C)x$$ **Шаг 5: Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $$x$$.** $$8x+3 = Ax^2 + 7A + Bx^2 + Cx$$ Теперь сгруппируем члены с $$x^2$$, с $$x$$ и свободные члены (числа без $$x$$): $$8x+3 = (A+B)x^2 + Cx + 7A$$ **Шаг 6: Приравняем коэффициенты.** Теперь мы сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$ в левой и правой частях равенства. * **Коэффициент при $$x^2$$:** Слева нет $$x^2$$, значит его коэффициент равен 0. Справа это $$(A+B)$$. Значит: $$A+B = 0$$ (Уравнение 1) * **Коэффициент при $$x$$:** Слева это $$8$$. Справа это $$C$$. Значит: $$C = 8$$ (Уравнение 2) * **Свободный член (без $$x$$):** Слева это $$3$$. Справа это $$7A$$. Значит: $$7A = 3$$ (Уравнение 3) **Шаг 7: Решим систему уравнений и найдём $$A$$, $$B$$, $$C$$.** * Из Уравнения 3 сразу находим $$A$$: $$7A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{7}$$ * Из Уравнения 2 сразу находим $$C$$: $$C = 8$$ * Теперь подставим найденное значение $$A$$ в Уравнение 1: $$A+B = 0 \Rightarrow \frac{3}{7} + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{3}{7}$$ Итак, мы нашли значения: $$A = \frac{3}{7}$$, $$B = -\frac{3}{7}$$, $$C = 8$$. **Шаг 8: Запишем окончательный ответ.** Подставим найденные значения $$A$$, $$B$$, $$C$$ в выражение из Шага 2: $$\frac{8x+3}{x(x^2+7)} = \frac{\frac{3}{7}}{x} + \frac{-\frac{3}{7}x+8}{x^2+7}$$ Эту запись можно немного преобразовать, чтобы выглядела аккуратнее: $$\frac{8x+3}{x(x^2+7)} = \frac{3}{7x} + \frac{8 - \frac{3}{7}x}{x^2+7}$$ Или, если привести числитель второй дроби к общему знаменателю: $$\frac{8 - \frac{3}{7}x}{x^2+7} = \frac{\frac{56-3x}{7}}{x^2+7} = \frac{56-3x}{7(x^2+7)}$$ **Ответ:** $$\,\frac{8x+3}{x(x^2+7)} = \frac{3}{7x} + \frac{56-3x}{7(x^2+7)}$$