Реши неравенство: $\frac{x^2-4x+12}{5-x} < 0$

Привет! Давай вместе разберёмся с этим неравенством. Оно выглядит немного сложным, но на самом деле мы справимся с ним по шагам. Нам нужно решить неравенство: $$\frac{x^2-4x+12}{5-x} < 0$$ Шаг 1: Разберёмся с выражением в числителе (то, что сверху). Числитель у нас такой: $x^2 - 4x + 12$. Чтобы понять, какое оно бывает (положительное, отрицательное или равно нулю), давай посмотрим на его дискриминант. Ты помнишь, как его считать? Дискриминант $D$ для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ считается по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=12$. Считаем: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12$$ $$D = 16 - 48$$ $$D = -32$$ Смотри, дискриминант получился отрицательным ($D < 0$). А это значит, что у квадратного уравнения $x^2 - 4x + 12 = 0$ нет решений, то есть график этой функции (парабола) не пересекает ось $X$. Ещё мы видим, что коэффициент при $x^2$ (это $a$) равен $1$, а $1$ — это положительное число ($a > 0$). Если $D < 0$ и $a > 0$, то это значит, что наша парабола всегда находится *над* осью $X$. Из этого следует, что выражение $x^2 - 4x + 12$ всегда положительно при любых значениях $x$. То есть $x^2 - 4x + 12 > 0$. Шаг 2: Разберёмся с выражением в знаменателе (то, что снизу). Знаменатель у нас: $5 - x$. Мы знаем, что знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому: $$5 - x \neq 0$$ $$x \neq 5$$ Шаг 3: Теперь посмотрим на всё неравенство целиком. У нас есть дробь $\frac{x^2-4x+12}{5-x} < 0$. Мы уже выяснили, что числитель ($x^2 - 4x + 12$) всегда положительный ($> 0$). Чтобы вся дробь была отрицательной ($< 0$), нужно, чтобы знаменатель был отрицательным. Давай запишем это: $$5 - x < 0$$ Шаг 4: Решим это простое неравенство. $$5 - x < 0$$ Перенесём $5$ в правую часть, не забывая поменять знак: $$-x < -5$$ Теперь, чтобы избавиться от минуса перед $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. Но помни важное правило: когда умножаешь или делишь неравенство на отрицательное число, знак неравенства нужно поменять на противоположный! $$x > 5$$ Это и есть наше решение! Все числа $x$, которые больше $5$, подходят. На числовой прямой это выглядит так: ----(5)----> X Интервал решения можно записать так: $(5; +\infty)$. Круглая скобка у $5$ означает, что само число $5$ не включается в решение (потому что $x$ строго больше $5$ и $x \neq 5$). **Ответ:** $(5; +\infty)$