Упрости выражение $\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2}$

Привет! Давай вместе разберем это выражение. Наша задача — упростить его, то есть, если возможно, сократить общие множители в числителе (это верхняя часть дроби) и знаменателе (нижняя часть дроби). Шаг 1: Разложим знаменатель. Знаменатель у нас такой: $$9 - x^2$$. Это очень похоже на формулу "разность квадратов", которая выглядит так: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. В нашем случае $$a^2 = 9$$, значит $$a = 3$$. А $$b^2 = x^2$$, значит $$b = x$$. Тогда знаменатель раскладывается на множители так: $$(3 - x)(3 + x)$$. Мы можем также заметить, что $$(3 - x) = -(x - 3)$$. Иногда это бывает удобно для сокращения, поэтому запишем знаменатель еще и так: $$-(x - 3)(x + 3)$$. Шаг 2: Попробуем разложить числитель. Числитель у нас такой: $$x^2 - 4x + 12$$. Это квадратный трехчлен. Чтобы его разложить на множители (если это возможно), нам нужно найти его корни с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$. А квадратный трехчлен имеет вид $$ax^2 + bx + c$$. В нашем числителе: $$a = 1$$, $$b = -4$$, $$c = 12$$. Подставляем эти значения в формулу дискриминанта: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12$$ $$D = 16 - 48$$ $$D = -32$$ Смотри, дискриминант получился отрицательным ($$D = -32 < 0$$). Когда дискриминант отрицательный, это значит, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. А если нет действительных корней, то его нельзя разложить на множители, используя только действительные числа. То есть, наш числитель $$x^2 - 4x + 12$$ нельзя "разбить" на две скобочки. Шаг 3: Собираем всё вместе и смотрим, что можно сократить. Мы получили, что числитель не раскладывается, а знаменатель равен $$(3 - x)(3 + x)$$. Значит, наше выражение выглядит так: $$\frac{x^2 - 4x + 12}{(3 - x)(3 + x)}$$ Поскольку в числителе нет множителей $$(3 - x)$$ или $$(3 + x)$$, мы не можем ничего сократить. Выражение уже находится в максимально упрощенном виде. **Ответ:** Выражение нельзя упростить дальше, оно остаётся в виде: $$\frac{x^2 - 4x + 12}{(3 - x)(3 + x)}$$ или $$\frac{x^2 - 4x + 12}{9 - x^2}$$