Привет! Давай разберёмся с этими выражениями шаг за шагом. Это очень полезные задачи для того, чтобы закрепить работу со степенями.
### Задание 6. Найдите значение выражения
Вот наше выражение:
$$ \frac{3 \cdot 6^5}{2 \cdot 2^4 \cdot 3^4} $$
**Шаг 1: Разложим число 6 на множители.**
Число $6$ можно представить как произведение $2 \cdot 3$.
Значит, $6^5$ мы можем записать как $(2 \cdot 3)^5$.
**Шаг 2: Применим свойство степени произведения.**
Есть такое правило: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Используя это правило, $(2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$.
Теперь подставим это в наше исходное выражение:
$$ \frac{3 \cdot (2^5 \cdot 3^5)}{2 \cdot 2^4 \cdot 3^4} $$
**Шаг 3: Перепишем выражение, собирая одинаковые основания.**
В числителе у нас есть $3$ (это $3^1$) и $3^5$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$3^1 \cdot 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$.
Значит, числитель становится $2^5 \cdot 3^6$.
В знаменателе у нас есть $2$ (это $2^1$) и $2^4$.
$2^1 \cdot 2^4 = 2^{1+4} = 2^5$.
Значит, знаменатель становится $2^5 \cdot 3^4$.
Теперь наше выражение выглядит так:
$$ \frac{2^5 \cdot 3^6}{2^5 \cdot 3^4} $$
**Шаг 4: Сократим дроби, используя свойство деления степеней.**
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
* Для основания $2$: $\frac{2^5}{2^5} = 2^{5-5} = 2^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно $1$. Значит, $\frac{2^5}{2^5} = 1$.
* Для основания $3$: $\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2$.
Теперь наше выражение упрощается до:
$$ 1 \cdot 3^2 $$
**Шаг 5: Вычислим окончательный результат.**
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
**Ответ:**
**Ответ: 9**
---
### Задание 7. Найдите значение выражения
Вот наше выражение:
$$ \frac{24 \cdot 18^5}{2 \cdot 3^{11}} $$
**Шаг 1: Разложим числа 24 и 18 на простые множители.**
Это поможет нам увидеть, какие основания у нас есть.
* Для числа $24$:
$24 = 2 \cdot 12$
$12 = 2 \cdot 6$
$6 = 2 \cdot 3$
Значит, $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$.
* Для числа $18$:
$18 = 2 \cdot 9$
$9 = 3 \cdot 3$
Значит, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$.
**Шаг 2: Подставим эти разложения в исходное выражение.**
Теперь наше выражение будет выглядеть так:
$$ \frac{(2^3 \cdot 3^1) \cdot (2^1 \cdot 3^2)^5}{2^1 \cdot 3^{11}} $$
**Шаг 3: Раскроем скобки в числителе.**
Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^1 \cdot 3^2)^5 = (2^1)^5 \cdot (3^2)^5 = 2^{1 \cdot 5} \cdot 3^{2 \cdot 5} = 2^5 \cdot 3^{10}$.
Теперь числитель выглядит так:
$(2^3 \cdot 3^1) \cdot (2^5 \cdot 3^{10})$
**Шаг 4: Объединим одинаковые основания в числителе.**
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
* Для основания $2$: $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
* Для основания $3$: $3^1 \cdot 3^{10} = 3^{1+10} = 3^{11}$.
Теперь наше выражение выглядит так:
$$ \frac{2^8 \cdot 3^{11}}{2^1 \cdot 3^{11}} $$
**Шаг 5: Сократим дроби, используя свойство деления степеней.**
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
* Для основания $2$: $\frac{2^8}{2^1} = 2^{8-1} = 2^7$.
* Для основания $3$: $\frac{3^{11}}{3^{11}} = 3^{11-11} = 3^0$. А мы уже знаем, что $3^0 = 1$.
Итак, наше выражение упрощается до:
$$ 2^7 \cdot 1 $$
**Шаг 6: Вычислим окончательный результат.**
$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.
$2 \cdot 2 = 4$
$4 \cdot 2 = 8$
$8 \cdot 2 = 16$
$16 \cdot 2 = 32$
$32 \cdot 2 = 64$
$64 \cdot 2 = 128$.
**Ответ:**
**Ответ: 128**
