Найди X, если $\lg x = \frac{2}{5} \lg 32 - \frac{1}{3} \lg 64 + 1$

Привет! Давай разберемся с этим уравнением по шагам. Оно выглядит немного сложным из-за логарифмов, но если применять правила аккуратно, то всё получится! Наше уравнение такое: $$\lg x = \frac{2}{5} \lg 32 - \frac{1}{3} \lg 64 + 1$$ Давай вспомним несколько важных правил про логарифмы, которые нам сегодня пригодятся (в нашем случае $\lg$ это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10): 1. **Свойство степени:** $n \cdot \lg a = \lg (a^n)$. Это значит, что если число умножается на логарифм, это число можно "занести" в степень под логарифм. 2. **Свойство единицы:** $1 = \lg 10$. Это потому, что 10 в первой степени равно 10. 3. **Свойство вычитания логарифмов:** $\lg a - \lg b = \lg \left(\frac{a}{b}\right)$. 4. **Свойство сложения логарифмов:** $\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)$. Теперь приступим к решению! **Шаг 1: Представим числа 32 и 64 как степени числа 2.** Нам нужно упростить выражения под логарифмами. * Число 32 можно записать как $2^5$ (это 2 * 2 * 2 * 2 * 2). * Число 64 можно записать как $2^6$ (это 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2). Подставим эти степени в наше уравнение: $$\lg x = \frac{2}{5} \lg (2^5) - \frac{1}{3} \lg (2^6) + 1$$ **Шаг 2: Используем свойство степени логарифма.** Теперь применим правило $n \cdot \lg a = \lg (a^n)$ для каждого члена с логарифмом. * Первый член: $\frac{2}{5} \lg (2^5)$. Здесь $n = \frac{2}{5}$ и $a = 2^5$. Тогда $\frac{2}{5} \lg (2^5) = \lg ((2^5)^{\frac{2}{5}})$. Помнишь правило $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $? Значит, степени умножаются: $5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$. Получаем: $\lg (2^2) = \lg 4$. * Второй член: $\frac{1}{3} \lg (2^6)$. Здесь $n = \frac{1}{3}$ и $a = 2^6$. Тогда $\frac{1}{3} \lg (2^6) = \lg ((2^6)^{\frac{1}{3}})$. Степени умножаются: $6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получаем: $\lg (2^2) = \lg 4$. **Шаг 3: Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение.** Теперь наше уравнение выглядит гораздо проще: $$\lg x = \lg 4 - \lg 4 + 1$$ **Шаг 4: Выполним вычитание.** $\lg 4 - \lg 4$ — это просто 0! $$\lg x = 0 + 1$$ $$\lg x = 1$$ **Шаг 5: Представим число 1 как логарифм.** Мы знаем, что $1 = \lg 10$. Подставим это в уравнение: $$\lg x = \lg 10$$ **Шаг 6: Находим X.** Если логарифмы равны, а основания у них одинаковые (в данном случае 10, так как это $\lg$), значит, и выражения под логарифмами тоже равны. Следовательно, $x = 10$. **Ответ: 10**