Найди производную функции y = z*e^(z^2) + 5z

Привет! Давай вместе разберёмся с этой задачей по поиску производной. Это не так сложно, как кажется, главное — делать всё по шагам. Нам нужно найти производную функции $y = z \cdot e^{z^2} + 5z$. Производная — это как скорость изменения функции. Чтобы её найти, мы будем использовать несколько правил. **Шаг 1: Разделим функцию на части.** Наша функция состоит из двух частей, которые складываются: Первая часть: $z \cdot e^{z^2}$ Вторая часть: $5z$ Когда у нас есть сумма функций, мы можем найти производную каждой части по отдельности, а потом сложить результаты. Это называется **правилом суммы производных**: $(f(z) + g(z))' = f'(z) + g'(z)$. **Шаг 2: Найдём производную первой части ($z \cdot e^{z^2}$).** Здесь у нас произведение двух функций: $z$ и $e^{z^2}$. Для таких случаев есть **правило произведения производных**: $(u(z) \cdot v(z))' = u'(z) \cdot v(z) + u(z) \cdot v'(z)$. Пусть $u(z) = z$ и $v(z) = e^{z^2}$. 1. **Найдём производную $u(z) = z$**: Производная $z$ по $z$ равна 1. $u'(z) = (z)' = 1$. 2. **Найдём производную $v(z) = e^{z^2}$**: Это "сложная" функция, потому что показатель степени у $e$ — это не просто $z$, а $z^2$. Для таких функций есть **правило производной сложной функции**: $(f(g(z)))' = f'(g(z)) \cdot g'(z)$. Здесь внешняя функция $f(t) = e^t$, а внутренняя функция $g(z) = z^2$. * Производная внешней функции $e^t$ по $t$ — это $e^t$. Значит, $f'(g(z)) = e^{z^2}$. * Производная внутренней функции $g(z) = z^2$ по $z$: $(z^2)' = 2z$. Теперь перемножаем их: $v'(z) = (e^{z^2})' = e^{z^2} \cdot (z^2)' = e^{z^2} \cdot 2z$. 3. **Применим правило произведения для $z \cdot e^{z^2}$**: $f'(z) = u'(z) \cdot v(z) + u(z) \cdot v'(z)$ $f'(z) = 1 \cdot e^{z^2} + z \cdot (e^{z^2} \cdot 2z)$ $f'(z) = e^{z^2} + 2z^2 e^{z^2}$ **Шаг 3: Найдём производную второй части ($5z$).** Здесь у нас число умножается на $z$. Производная от $5z$ будет равна просто 5. $(5z)' = 5 \cdot (z)' = 5 \cdot 1 = 5$. **Шаг 4: Сложим производные обеих частей.** Теперь, когда мы нашли производные каждой части, просто складываем их: $y' = (e^{z^2} + 2z^2 e^{z^2}) + 5$. **Шаг 5: Упростим выражение (если это возможно).** Мы можем вынести $e^{z^2}$ за скобки в первой части выражения: $y' = e^{z^2}(1 + 2z^2) + 5$. Вот и всё! Мы нашли производную. **Ответ:** Производная функции $y = z \cdot e^{z^2} + 5z$ это $y' = e^{z^2}(1 + 2z^2) + 5$.