Найти производную функции y = x^3*e^x + 5x

Привет! Давай вместе найдем производную этой функции. Это несложно, если знать несколько правил. Наша функция: $y = x^3 \cdot e^x + 5x$ Чтобы найти производную, мы будем использовать несколько правил: 1. **Правило суммы:** Если у нас есть две функции, которые складываются (или вычитаются), то производная суммы равна сумме производных каждой функции. То есть, $(u+v)' = u' + v'$. 2. **Правило произведения:** Если две функции умножаются, то производная их произведения находится так: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. 3. **Производная степени:** Производная от $x^n$ равна $n \cdot x^{n-1}$. Например, производная от $x^3$ будет $3x^2$. 4. **Производная экспоненты:** Производная от $e^x$ (это такая особенная функция) равна самой $e^x$. 5. **Производная константы, умноженной на x:** Производная от $kx$ равна просто $k$. Например, производная от $5x$ равна $5$. Теперь поехали по шагам: **Шаг 1: Разделим функцию на части.** Наша функция состоит из двух частей, которые складываются: $x^3 \cdot e^x$ и $5x$. Пусть $u(x) = x^3 \cdot e^x$ и $v(x) = 5x$. Тогда $y = u(x) + v(x)$, и значит $y' = u'(x) + v'(x)$. **Шаг 2: Найдем производную первой части: $u(x) = x^3 \cdot e^x$.** Здесь у нас умножаются две функции: $x^3$ и $e^x$. Применяем правило произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$: * Пусть $f = x^3$. Её производная $f' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$. * Пусть $g = e^x$. Её производная $g' = (e^x)' = e^x$. Теперь подставляем это в правило произведения: $u'(x) = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$. **Шаг 3: Найдем производную второй части: $v(x) = 5x$.** Здесь просто константа умножается на $x$. $v'(x) = (5x)' = 5$. **Шаг 4: Сложим полученные производные.** Теперь, когда мы нашли производные каждой части, нам нужно их просто сложить, как мы договаривались в Шаге 1. $y' = u'(x) + v'(x)$ $y' = (3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x) + 5$ **Шаг 5: Немного упростим выражение.** В первой части $(3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x)$ можно заметить, что $x^2 \cdot e^x$ повторяется в обоих слагаемых. Можно вынести это за скобки: $3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = x^2 \cdot e^x \cdot (3 + x)$ Итак, окончательная производная: $y' = x^2 \cdot e^x \cdot (3 + x) + 5$ **Ответ: $y' = x^2 e^x (3 + x) + 5$**