Если $f(x) = \sin 2x - 3x$, то чему равно $f'(\frac{\pi}{4})$?

Привет! Давай разберёмся с этим заданием шаг за шагом. Это задача на нахождение производной функции и подстановку значения. ### Шаг 1: Найдём производную функции $$f(x)$$ У нас есть функция $$f(x) = \sin 2x - 3x$$. Чтобы найти её производную $$f'(x)$$, нужно взять производную от каждого слагаемого. * **Производная от $\sin 2x$:** Это сложная функция. Мы используем правило цепочки: производная от внешней функции ($\sin u$) умножается на производную от внутренней функции ($2x$). Производная от $\sin u$ это $\cos u$. Производная от $2x$ это $2$. Значит, производная от $\sin 2x$ будет $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos 2x$. * **Производная от $3x$:** Это простая функция. Производная от $kx$ это $k$. Значит, производная от $3x$ это $3$. Теперь собираем всё вместе: $$f'(x) = 2\cos 2x - 3$$ ### Шаг 2: Подставим значение $$\frac{\pi}{4}$$ в производную Теперь, когда у нас есть производная $$f'(x)$$, нам нужно найти её значение при $$x = \frac{\pi}{4}$$. Просто подставим $$\frac{\pi}{4}$$ вместо $$x$$ в выражение для $$f'(x)$$. $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - 3$$ Упростим выражение внутри косинуса: $$2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ Теперь подставим это обратно: $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3$$ Мы знаем, что $$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ (это косинус 90 градусов). Значит: $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 0 - 3$$ $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 - 3$$ $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3$$ **Ответ: $$-3$$**