Частным решением дифференциального уравнения y'' + y' - 2y = 0 являются

Привет! Давай разберёмся с этим заданием шаг за шагом. Это задачка по математике, раздел называется "дифференциальные уравнения". Не пугайся сложных слов, на самом деле всё логично и понятно. Нам дано дифференциальное уравнение: $y'' + y' - 2y = 0$. Это такое уравнение, где нужно найти функцию $y(x)$, которая при подстановке в уравнение вместе со своими производными ($y'$ – это первая производная, $y''$ – вторая производная) сделает его верным. Чтобы решить такое уравнение, мы используем специальный метод: **Шаг 1: Составляем характеристическое уравнение.** Представь, что мы заменяем $y''$ на $r^2$, $y'$ на $r$, а $y$ на 1 (или $r^0$). Тогда наше уравнение превращается в обычное квадратное уравнение: $$r^2 + r - 2 = 0$$ **Шаг 2: Находим корни этого квадратного уравнения.** Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ корни можно найти по формуле: $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-2$. Сначала найдём дискриминант $D$: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ Теперь найдём корни: $$r_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$r_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ У нас получились два разных действительных корня: $r_1 = -2$ и $r_2 = 1$. **Шаг 3: Записываем общее решение дифференциального уравнения.** Если у нас два разных действительных корня $r_1$ и $r_2$, то общее решение дифференциального уравнения будет выглядеть так: $$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$ Здесь $C_1$ и $C_2$ — это любые постоянные числа (их ещё называют произвольными константами). Подставляем наши корни: $$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{1x}$$ Или, проще: $$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$$ Это и есть **общее решение**. Оно описывает все возможные функции, которые являются решениями нашего уравнения. **Шаг 4: Что такое частные решения?** Частные решения — это конкретные варианты общего решения, когда мы выбираем определённые значения для констант $C_1$ и $C_2$. В задании не указано никаких дополнительных условий (например, чему равен $y(0)$ или $y'(0)$), чтобы мы могли найти конкретные $C_1$ и $C_2$. Поэтому мы можем привести примеры частных решений: * Если мы возьмём $C_1 = 1$ и $C_2 = 0$, то получим первое частное решение: $y(x) = e^{-2x}$. * Если мы возьмём $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$, то получим второе частное решение: $y(x) = e^x$. * Если мы возьмём $C_1 = 5$ и $C_2 = -3$, то получим ещё одно частное решение: $y(x) = 5e^{-2x} - 3e^x$. И так далее, для любых значений $C_1$ и $C_2$. **Ответ:** Частными решениями дифференциального уравнения являются любые функции вида $y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные. Например, $y(x) = e^{-2x}$ и $y(x) = e^x$ являются частными решениями.