Третий член числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$$ равен чему?

Привет! Давай разберемся вместе с этим заданием. У нас есть числовой ряд, который выглядит так: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$$ Это значит, что каждый член ряда мы получаем, подставляя разные значения $n$, начиная с $1$, потом $2$, $3$ и так далее до бесконечности. Нам нужно найти третий член этого ряда. Это значит, что вместо $n$ мы должны подставить число $3$. 1. **Запишем формулу для члена ряда:** Каждый член ряда можно записать как $a_n = \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$. 2. **Подставим $n=3$ в формулу:** Чтобы найти третий член, мы меняем $n$ на $3$: $$a_3 = \frac{(-1)^3}{3(3+1)}$$ 3. **Вычислим числитель:** $(-1)^3$ означает, что $-1$ нужно умножить на себя $3$ раза: $(-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$ Так что числитель равен $-1$. 4. **Вычислим знаменатель:** $3(3+1) = 3 \times 4 = 12$ Так что знаменатель равен $12$. 5. **Составим дробь:** Теперь мы можем собрать числитель и знаменатель вместе: $$a_3 = \frac{-1}{12}$$ Итак, третий член этого ряда равен $-1/12$. **Ответ: $-\frac{1}{12}$**