Вычисли предел функции $$lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 4}$$

Привет! Давай вместе разберёмся с этим пределом. Это несложно, если знать один маленький секрет! Мы хотим найти, к чему стремится значение дроби $\frac{5x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 4}$, когда $x$ становится очень-очень большим (стремится к бесконечности, как обозначает $x \to \infty$). Пошаговое решение: 1. **Определяем "главные" части выражения.** Когда $x$ становится очень большим, в многочленах $5x^2 - 2x + 1$ и $2x^2 + 4$ самые важные члены — это те, у которых $x$ в самой высокой степени. * В числителе ($5x^2 - 2x + 1$) самый "главный" член — это $5x^2$, потому что $x^2$ растёт гораздо быстрее, чем $x$ или просто число $1$. * В знаменателе ($2x^2 + 4$) самый "главный" член — это $2x^2$. 2. **Сравниваем степени "главных" частей.** * В числителе старшая степень $x$ — это $x^2$. * В знаменателе старшая степень $x$ — это $x^2$. Степени одинаковые (обе равны 2). 3. **Применяем правило для пределов.** Если при $x \to \infty$ в дроби (где сверху и снизу многочлены) старшие степени $x$ в числителе и знаменателе одинаковые, то предел равен отношению коэффициентов при этих старших степенях. * Коэффициент при $x^2$ в числителе равен $5$. * Коэффициент при $x^2$ в знаменателе равен $2$. Значит, предел будет равен отношению этих коэффициентов: $\frac{5}{2}$. Давай запишем это математически: $$lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 4}$$ Чтобы это было ещё более понятно, мы можем разделить каждый член числителя и знаменателя на $x^2$ (самую высокую степень $x$): $$= lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}}$$ Упростим выражение: $$= lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^2}}$$ Теперь подумаем, что происходит с дробями, когда $x$ очень большое: * $\frac{2}{x}$ стремится к $0$ (например, $2/1000000$ — это очень маленькое число). * $\frac{1}{x^2}$ стремится к $0$ (очень маленькое число, ещё меньше, чем $2/x$). * $\frac{4}{x^2}$ тоже стремится к $0$. Подставляем эти значения в наше выражение: $$= \frac{5 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{5}{2}$$ **Ответ:** $$lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 4} = \frac{5}{2}$$