Вычислите: $$1\frac{4}{9}+2\frac{5}{18}$$

Привет! Давай вместе разберём эти примеры с дробями. Это очень похоже на сборку конструктора: сначала мы приводим все детали к одному виду, а потом легко их соединяем или разделяем. ### a) Вычислите: $$1\frac{4}{9}+2\frac{5}{18}$$ **Шаг 1: Складываем целые части.** Сначала давай сложим целые числа, которые стоят перед дробями. $$1 + 2 = 3$$ **Шаг 2: Находим общий знаменатель для дробных частей.** Теперь посмотрим на дробные части: $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{18}$. Нам нужно, чтобы у них был одинаковый "низ" (знаменатель). Число 18 делится и на 9, и на 18, значит, 18 будет общим знаменателем. Чтобы дробь $\frac{4}{9}$ превратить в дробь со знаменателем 18, нужно и верх, и низ умножить на 2: $$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}$$ Дробь $\frac{5}{18}$ уже имеет знаменатель 18, её оставляем как есть. **Шаг 3: Складываем дробные части.** Теперь, когда у обеих дробей одинаковый знаменатель, можно их сложить: $$\frac{8}{18} + \frac{5}{18} = \frac{8+5}{18} = \frac{13}{18}$$ **Шаг 4: Соединяем целую и дробную части.** Получилось, что целая часть — это 3, а дробная — это $\frac{13}{18}$. Соединяем их: $$3 + \frac{13}{18} = 3\frac{13}{18}$$ **Ответ: $3\frac{13}{18}$** --- ### б) Вычислите: $$3\frac{5}{24}-1\frac{7}{36}$$ **Шаг 1: Превращаем смешанные числа в неправильные дроби.** Когда мы вычитаем, бывает удобнее превратить все смешанные числа (те, что с целой и дробной частью) в неправильные дроби (те, у которых "верх" больше "низа"). * Для $3\frac{5}{24}$: Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $3 \cdot 24 + 5 = 72 + 5 = 77$. Получается дробь: $$\frac{77}{24}$$ * Для $1\frac{7}{36}$: Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $1 \cdot 36 + 7 = 36 + 7 = 43$. Получается дробь: $$\frac{43}{36}$$ Теперь наш пример выглядит так: $$\frac{77}{24} - \frac{43}{36}$$ **Шаг 2: Находим общий знаменатель.** Для чисел 24 и 36 нужно найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое самое маленькое число, которое делится и на 24, и на 36 без остатка. Давай разложим числа на множители: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$ $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$ Чтобы найти НОК, берём все множители с наибольшей степенью: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$. Значит, общий знаменатель — это 72. **Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю.** * Для $\frac{77}{24}$: чтобы знаменатель стал 72, нужно 24 умножить на 3 ($72 \div 24 = 3$). Значит, и числитель (верх) тоже умножаем на 3: $$\frac{77 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{231}{72}$$ * Для $\frac{43}{36}$: чтобы знаменатель стал 72, нужно 36 умножить на 2 ($72 \div 36 = 2$). Значит, и числитель (верх) тоже умножаем на 2: $$\frac{43 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{86}{72}$$ Теперь наш пример выглядит так: $$\frac{231}{72} - \frac{86}{72}$$ **Шаг 4: Вычитаем дроби.** Теперь, когда знаменатели одинаковые, вычитаем числители: $$\frac{231 - 86}{72} = \frac{145}{72}$$ **Шаг 5: Превращаем неправильную дробь обратно в смешанное число.** Мы получили $\frac{145}{72}$. Чтобы понять, сколько это целых и какая дробь останется, нужно 145 разделить на 72: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 4 & 5 & 72 \\ \hline 1 & 4 & 4 & 2 \\ \hline & & 1 \end{array}$$ Мы видим, что 72 помещается в 145 два раза ($2 \cdot 72 = 144$), и остаётся 1 ($145 - 144 = 1$). Значит, это $2$ целых и $\frac{1}{72}$. $$2\frac{1}{72}$$ **Ответ: $2\frac{1}{72}$** --- ### в) Вычислите: $$2\frac{7}{30}+3\frac{9}{20}-4\frac{59}{60}$$ **Шаг 1: Превращаем все смешанные числа в неправильные дроби.** Так будет проще выполнять все действия. * $2\frac{7}{30} = \frac{2 \cdot 30 + 7}{30} = \frac{60 + 7}{30} = \frac{67}{30}$ * $3\frac{9}{20} = \frac{3 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{60 + 9}{20} = \frac{69}{20}$ * $4\frac{59}{60} = \frac{4 \cdot 60 + 59}{60} = \frac{240 + 59}{60} = \frac{299}{60}$ Теперь наш пример выглядит так: $$\frac{67}{30} + \frac{69}{20} - \frac{299}{60}$$ **Шаг 2: Находим общий знаменатель для всех дробей.** У нас есть знаменатели 30, 20 и 60. Заметим, что 60 делится на 30 ($60 \div 30 = 2$) и на 20 ($60 \div 20 = 3$). Значит, 60 и будет нашим общим знаменателем. **Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю.** * Для $\frac{67}{30}$: чтобы знаменатель стал 60, нужно 30 умножить на 2. Значит, и числитель умножаем на 2: $$\frac{67 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{134}{60}$$ * Для $\frac{69}{20}$: чтобы знаменатель стал 60, нужно 20 умножить на 3. Значит, и числитель умножаем на 3: $$\frac{69 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{207}{60}$$ * Дробь $\frac{299}{60}$ уже имеет нужный знаменатель. Теперь наш пример выглядит так: $$\frac{134}{60} + \frac{207}{60} - \frac{299}{60}$$ **Шаг 4: Выполняем сложение и вычитание.** Теперь, когда все знаменатели одинаковые, мы просто складываем и вычитаем числители в том порядке, в каком они стоят: $$\frac{134 + 207 - 299}{60}$$ Сначала $134 + 207 = 341$: $$\frac{341 - 299}{60}$$ Теперь $341 - 299 = 42$: $$\frac{42}{60}$$ **Шаг 5: Сокращаем дробь.** Полученную дробь $\frac{42}{60}$ можно сократить, то есть разделить и верх, и низ на одно и то же число. И 42, и 60 делятся на 6: $$42 \div 6 = 7$$ $$60 \div 6 = 10$$ Получаем: $$\frac{7}{10}$$ **Ответ: $\frac{7}{10}$**