Помоги решить неравенства

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Здесь нам нужно вспомнить, как ведут себя квадратные функции и что такое дискриминант. Квадратное неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$ (или $\ge$, $\le$). Графиком квадратной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Нам важно знать, куда направлены "ветви" параболы и пересекает ли она ось $OX$. 1. Если коэффициент $a$ (тот, что стоит перед $x^2$) больше нуля ($a>0$), то ветви параболы направлены вверх. 2. Если $a<0$, то ветви параболы направлены вниз. Чтобы понять, пересекает ли парабола ось $OX$, мы используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. * Если $D > 0$, парабола пересекает ось $OX$ в двух точках. У квадратного уравнения есть два разных корня. * Если $D = 0$, парабола касается оси $OX$ в одной точке. У квадратного уравнения есть один корень (или два одинаковых). * Если $D < 0$, парабола не пересекает ось $OX$. У квадратного уравнения нет действительных корней. Теперь применим это к каждой задаче. ### Задание 1177. Укажите неравенство, которое не имеет решений. Нам нужно найти такое неравенство, которое не будет выполняться ни при каких значениях $x$. Для всех неравенств здесь $a=1$ (коэффициент перед $x^2$), значит, ветви параболы направлены **вверх**. Рассмотрим каждое неравенство: 1) $x^2+6x-51>0$ Сначала найдем дискриминант для уравнения $x^2+6x-51=0$: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)$$ $$D = 36 + 204 = 240$$ Так как $D=240 > 0$, парабола пересекает ось $OX$ в двух точках. Ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось $OX$. Это значит, что часть параболы находится выше оси $OX$, а часть — ниже. Значит, неравенство $x^2+6x-51>0$ имеет решения. 2) $x^2+6x-51<0$ Дискриминант тот же, $D=240 > 0$. Парабола пересекает ось $OX$ в двух точках. Ветви направлены вверх. Часть параболы находится ниже оси $OX$ (между корнями). Значит, неравенство $x^2+6x-51<0$ имеет решения. 3) $x^2+6x+51>0$ Найдем дискриминант для уравнения $x^2+6x+51=0$: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51$$ $$D = 36 - 204 = -168$$ Так как $D=-168 < 0$, парабола не пересекает ось $OX$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Это значит, что вся парабола находится **выше** оси $OX$. Поэтому выражение $x^2+6x+51$ всегда положительно для любого $x$. Значит, неравенство $x^2+6x+51>0$ имеет решения для любого $x$. 4) $x^2+6x+51<0$ Дискриминант тот же, $D=-168 < 0$. Ветви параболы направлены вверх. Вся парабола находится выше оси $OX$. Это значит, что выражение $x^2+6x+51$ всегда положительно. Оно никогда не может быть меньше нуля. Поэтому это неравенство **не имеет решений**. **Правильный ответ: 4** ### Задание 1178. Укажите неравенство, которое не имеет решений. Здесь тоже для всех неравенств $a=1$, значит, ветви параболы направлены **вверх**. Рассмотрим каждое неравенство: 1) $x^2+6x-33>0$ Найдем дискриминант для $x^2+6x-33=0$: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33)$$ $$D = 36 + 132 = 168$$ Так как $D=168 > 0$, парабола пересекает ось $OX$ в двух точках. Ветви направлены вверх. Значит, неравенство $x^2+6x-33>0$ имеет решения. 2) $x^2+6x+33>0$ Найдем дискриминант для $x^2+6x+33=0$: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33$$ $$D = 36 - 132 = -96$$ Так как $D=-96 < 0$, парабола не пересекает ось $OX$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Вся парабола находится выше оси $OX$. Это значит, что выражение $x^2+6x+33$ всегда положительно. Значит, неравенство $x^2+6x+33>0$ имеет решения для любого $x$. 3) $x^2+6x-33<0$ Дискриминант тот же, $D=168 > 0$. Парабола пересекает ось $OX$ в двух точках. Ветви направлены вверх. Часть параболы находится ниже оси $OX$. Значит, неравенство $x^2+6x-33<0$ имеет решения. 4) $x^2+6x+33<0$ Дискриминант тот же, $D=-96 < 0$. Ветви параболы направлены вверх. Вся парабола находится выше оси $OX$. Выражение $x^2+6x+33$ всегда положительно. Оно никогда не может быть меньше нуля. Поэтому это неравенство **не имеет решений**. **Правильный ответ: 4** ### Задание 1179. Укажите неравенство, решением которого является любое число. Нам нужно найти такое неравенство, которое будет выполняться всегда, при любом значении $x$. 1) $x^2-92 \ge 0$ Перенесем число в правую часть: $x^2 \ge 92$. Это неравенство означает, что $x$ должен быть больше или равен $\sqrt{92}$ или меньше или равен $-\sqrt{92}$. То есть, $x \in (-\infty; -\sqrt{92}] \cup [\sqrt{92}; +\infty)$. Это не "любое число". 2) $x^2-92 \le 0$ Перенесем число в правую часть: $x^2 \le 92$. Это неравенство означает, что $x$ должен находиться между $-\sqrt{92}$ и $\sqrt{92}$ (включительно). То есть, $x \in [-\sqrt{92}; \sqrt{92}]$. Это не "любое число". 3) $x^2+92 \le 0$ Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Если $x^2 \ge 0$, то $x^2+92$ будет всегда больше или равно $0+92$, то есть $x^2+92 \ge 92$. Поскольку $x^2+92$ всегда больше или равно $92$, оно никогда не может быть меньше или равно $0$. Поэтому это неравенство **не имеет решений**. 4) $x^2+92 \ge 0$ Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $x^2+92$ будет всегда больше или равно $0+92=92$. Так как $92 \ge 0$, то и $x^2+92$ всегда будет больше или равно $0$. Это неравенство выполняется **для любого числа** $x$. **Правильный ответ: 4**