Упрости выражения: а) $(2x^2y)^3 \cdot (-xy^3)^2$; б) $(-x - 7y)^2 - (x + 7y)(7y - x)$

Привет! Давай вместе разберем эти выражения и упростим их. ### Задание а) Упрости выражение $(2x^2y)^3 \cdot (-xy^3)^2$ Чтобы упростить это выражение, нам нужно вспомнить правила работы со степенями: * $$(ab)^n = a^n b^n$$ * $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ * $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ * Если отрицательное число возводится в четную степень, результат будет положительным, например $(-a)^2 = a^2$. Давай начнем по порядку: **Шаг 1: Упрощаем первую часть выражения $(2x^2y)^3$** Здесь мы возводим каждый множитель внутри скобок в третью степень: $$ (2x^2y)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 $$ Вычисляем степени: $$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$ $$ (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6 $$ $$ y^3 = y^3 $$ Таким образом, первая часть выражения становится: $$ 8x^6y^3 $$ **Шаг 2: Упрощаем вторую часть выражения $(-xy^3)^2$** Здесь мы возводим каждый множитель внутри скобок во вторую степень. Обрати внимание на знак минус: $$ (-xy^3)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 $$ Вычисляем степени: $$ (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 $$ $$ x^2 = x^2 $$ $$ (y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6 $$ Таким образом, вторая часть выражения становится: $$ 1 \cdot x^2 \cdot y^6 = x^2y^6 $$ **Шаг 3: Перемножаем упрощенные части** Теперь нам нужно перемножить результаты из Шага 1 и Шага 2: $$ (8x^6y^3) \cdot (x^2y^6) $$ Перемножаем числа, а потом одинаковые буквы, складывая их степени: $$ 8 \cdot 1 = 8 $$ $$ x^6 \cdot x^2 = x^{6+2} = x^8 $$ $$ y^3 \cdot y^6 = y^{3+6} = y^9 $$ Собираем всё вместе: $$ 8x^8y^9 $$ **Ответ: $8x^8y^9$** ### Задание б) Упрости выражение $(-x - 7y)^2 - (x + 7y)(7y - x)$ Здесь нам нужно использовать формулы сокращенного умножения: * Квадрат суммы: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ * Разность квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$ Давай упростим каждую часть выражения по отдельности. **Шаг 1: Упрощаем первую часть выражения $(-x - 7y)^2$** Заметим, что $(-x - 7y)$ можно записать как $-(x + 7y)$. Тогда: $$ (-x - 7y)^2 = (-(x + 7y))^2 $$ Так как минус в квадрате дает плюс, это выражение равно: $$ (x + 7y)^2 $$ Теперь применяем формулу квадрата суммы, где $a = x$ и $b = 7y$: $$ (x + 7y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (7y) + (7y)^2 $$ $$ = x^2 + 14xy + 49y^2 $$ **Шаг 2: Упрощаем вторую часть выражения $(x + 7y)(7y - x)$** Чтобы применить формулу разности квадратов, нам нужно, чтобы первый множитель тоже был в виде $(a+b)$. Давай поменяем местами слагаемые в первой скобке: $$ (x + 7y)(7y - x) = (7y + x)(7y - x) $$ Теперь это точно формула разности квадратов, где $a = 7y$ и $b = x$: $$ (7y + x)(7y - x) = (7y)^2 - x^2 $$ $$ = 49y^2 - x^2 $$ **Шаг 3: Вычитаем вторую часть из первой** Теперь подставляем упрощенные выражения обратно в исходное: $$ (x^2 + 14xy + 49y^2) - (49y^2 - x^2) $$ Раскрываем скобки. Помни, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобки: $$ x^2 + 14xy + 49y^2 - 49y^2 + x^2 $$ Теперь приводим подобные слагаемые: $$ x^2 + x^2 = 2x^2 $$ $$ 49y^2 - 49y^2 = 0 $$ Слагаемое $14xy$ остается без изменений. В итоге получаем: $$ 2x^2 + 14xy $$ **Ответ: $2x^2 + 14xy$**