Разложи на множители выражения 27a² - a⁶ и a² + 2ab + b² - 9

Привет! Давай разберем эти выражения и разложим их на множители. Нам нужно разложить на множители два выражения: а) $27a^2 - a^6$ б) $a^2 + 2ab + b^2 - 9$ Начнем с первого. **а) Разложим на множители выражение $27a^2 - a^6$** Шаг 1: Ищем общий множитель. В обоих слагаемых — $27a^2$ и $a^6$ — есть общая часть, это $a$ в некоторой степени. Наименьшая степень $a$ в этих слагаемых — это $a^2$. Значит, мы можем вынести $a^2$ за скобки. $$27a^2 - a^6 = a^2(27 - a^4)$$ Шаг 2: Проверяем, можно ли разложить выражение в скобках дальше. В скобках у нас получилось $27 - a^4$. Число $27$ — это $3 \cdot 9$ или $3^3$. Выражение $a^4$ можно записать как $(a^2)^2$. То есть у нас $27 - (a^2)^2$. Это не разность квадратов, потому что $27$ не является полным квадратом ($4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$). Это также не разность кубов, потому что $a^4$ не является полным кубом, да и $27$ тоже не является кубом чего-то, что сочеталось бы с $a^4$ для формулы разности кубов. Поэтому, в рамках школьной программы, дальнейшее разложение этого выражения на множители обычно не требуется. **Ответ:** $a^2(27 - a^4)$ --- **б) Разложим на множители выражение $a^2 + 2ab + b^2 - 9$** Шаг 1: Ищем известные формулы. Посмотри внимательно на первые три слагаемых: $a^2 + 2ab + b^2$. Это же известная формула сокращенного умножения — квадрат суммы! Напомним её: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x = a$ и $y = b$. Значит, $a^2 + 2ab + b^2$ можно заменить на $(a+b)^2$. Перепишем наше выражение с учетом этого: $$(a+b)^2 - 9$$ Шаг 2: Ищем еще одну известную формулу. Теперь у нас получилось $(a+b)^2 - 9$. Мы видим, что это похоже на разность квадратов. Формула разности квадратов выглядит так: $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$. В нашем выражении: * Вместо $X$ у нас стоит $(a+b)$. * Вместо $Y^2$ у нас стоит $9$. А $9$ — это $3^2$. Значит, $Y = 3$. Подставим эти значения в формулу разности квадратов: $$((a+b) - 3)((a+b) + 3)$$ Шаг 3: Упрощаем полученное выражение. Убираем лишние скобки: $$(a+b-3)(a+b+3)$$ Вот и всё! Мы разложили второе выражение на множители. **Ответ:** $(a+b-3)(a+b+3)$