Возведи в степень

Привет! Давай вместе разберёмся, как возводить смешанные дроби в степень. Это несложно, главное – быть внимательным к деталям. ## а) $(1 \frac{1}{3})^4$ Чтобы решить этот пример, нам нужно выполнить несколько шагов: **Шаг 1: Превратим смешанную дробь в неправильную.** Смешанная дробь $1 \frac{1}{3}$ состоит из целой части (1) и дробной части ($\frac{1}{3}$). Чтобы сделать её неправильной, нужно целую часть умножить на знаменатель дроби и прибавить числитель. Знаменатель при этом останется прежним. $$1 \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$$ **Шаг 2: Возведем полученную неправильную дробь в четвёртую степень.** Это значит, что мы должны умножить дробь саму на себя четыре раза. Проще всего это сделать, возведя отдельно числитель и отдельно знаменатель в нужную степень. $$\left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{4^4}{3^4}$$ **Шаг 3: Вычислим значения числителя и знаменателя.** Возведём 4 в четвёртую степень: $$4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 16 = 256$$ Возведём 3 в четвёртую степень: $$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$$ **Шаг 4: Запишем результат.** Получаем дробь: $$\frac{256}{81}$$ Эту неправильную дробь можно перевести обратно в смешанную, разделив 256 на 81: $$256 \div 81 = 3 \text{ целых и } 13 \text{ в остатке}$$ Значит, $256/81 = 3 \frac{13}{81}$. **Ответ: $3 \frac{13}{81}$** *** ## б) $(-2 \frac{1}{2})^3$ Здесь у нас отрицательная смешанная дробь, которую нужно возвести в третью степень. **Шаг 1: Превратим смешанную дробь в неправильную.** Смешанная дробь $2 \frac{1}{2}$ превращается в неправильную так: $$2 \frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$ Теперь учтём знак минус, который был перед смешанной дробью: $$-2 \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$ **Шаг 2: Возведем полученную неправильную дробь в третью степень.** Мы возводим отрицательную дробь в нечётную степень (степень 3). Важное правило: если отрицательное число возводится в нечётную степень, результат всегда будет отрицательным. Если бы степень была чётной, результат был бы положительным. $$\left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\left(\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{5^3}{2^3}$$ **Шаг 3: Вычислим значения числителя и знаменателя.** Возведём 5 в третью степень: $$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$$ Возведём 2 в третью степень: $$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$$ **Шаг 4: Запишем результат с учетом знака.** Получаем дробь: $$-\frac{125}{8}$$ Эту неправильную дробь также можно перевести обратно в смешанную, разделив 125 на 8: $$125 \div 8 = 15 \text{ целых и } 5 \text{ в остатке}$$ Значит, $-125/8 = -15 \frac{5}{8}$. **Ответ: $-15 \frac{5}{8}$**