Реши уравнение $|x+y-2|+x²-2xy+y²=0$

Привет! Давай разберём это интересное уравнение шаг за шагом. Уравнения с модулем могут казаться сложными, но если понять их суть, всё становится гораздо проще. Наше уравнение выглядит так: $$|x+y-2|+x^2-2xy+y^2=0$$ **Шаг 1: Упростим выражение в уравнении.** Посмотри внимательно на часть $x^2-2xy+y^2$. Это очень похоже на известную тебе формулу сокращённого умножения — квадрат разности! Мы знаем, что $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Значит, $x^2-2xy+y^2$ можно заменить на $(x-y)^2$. Тогда наше уравнение станет таким: $$|x+y-2|+(x-y)^2=0$$ **Шаг 2: Вспомним свойства модуля и квадрата числа.** У нас есть сумма двух выражений, равная нулю: одно выражение под знаком модуля, другое — в квадрате. Давай вспомним, что мы знаем про модуль и квадрат: * Модуль любого числа (или выражения) всегда неотрицателен, то есть он либо равен нулю, либо больше нуля. Например, $|5|=5$, $|-3|=3$, $|0|=0$. Это значит, что $|x+y-2| \ge 0$. * Квадрат любого числа (или выражения) тоже всегда неотрицателен. Например, $5^2=25$, $(-3)^2=9$, $0^2=0$. Это значит, что $(x-y)^2 \ge 0$. **Шаг 3: Делаем вывод из свойств.** Мы видим, что у нас есть сумма двух неотрицательных чисел, и эта сумма равна нулю. $|неотрицательное\ число| + (неотрицательное\ число)^2 = 0$ Такое возможно только в одном-единственном случае: когда каждое из этих чисел равно нулю! Представь, если бы хотя бы одно из них было чуть больше нуля, то и сумма была бы больше нуля, а не равна нулю. Значит, чтобы равенство $|x+y-2|+(x-y)^2=0$ было верным, должны одновременно выполняться два условия: 1. Выражение под модулем должно быть равно нулю: $x+y-2=0$ 2. Выражение, возведённое в квадрат, должно быть равно нулю: $x-y=0$ **Шаг 4: Решаем систему уравнений.** Теперь у нас получилась система из двух простых уравнений: $$\begin{cases} x+y-2=0 \\ x-y=0 \end{cases}$$ Давай решим её. Из второго уравнения $x-y=0$ очень легко найти, что $x=y$. Теперь, зная, что $x$ равен $y$, подставим это в первое уравнение: Вместо $x$ мы можем написать $y$ (или наоборот): $$y+y-2=0$$ $$2y-2=0$$ Прибавим 2 к обеим частям уравнения: $$2y=2$$ Разделим обе части на 2: $$y=1$$ Отлично! Мы нашли значение $y$. А так как мы знаем, что $x=y$, то и $x$ тоже равен 1. Значит, $x=1$ и $y=1$. **Шаг 5: Проверим наше решение.** Давай подставим $x=1$ и $y=1$ в самое первое уравнение и посмотрим, что получится: $$|1+1-2|+(1-1)^2$$ $$|2-2|+(0)^2$$ $$|0|+0$$ $$0+0=0$$ Всё сошлось! Это значит, что мы нашли правильное решение. **Ответ: $x=1$, $y=1$**