Реши все задания по алгебре: выполни действия, вынеси общий множитель, реши уравнения, реши задачу.

Привет! С удовольствием помогу тебе разобрать эти задания по алгебре. Давай решать их шаг за шагом. ### 1. Выполните действия: **a) $(12ab - 5a) - (ab + 6a)$** Сначала нужно раскрыть скобки. Помни, что если перед скобками стоит знак минус, то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Шаг 1: Раскрываем скобки. $$12ab - 5a - ab - 6a$$ Шаг 2: Объединяем похожие члены (то есть те, у которых одинаковые буквенные части). У нас есть члены с $ab$ и члены с $a$. Собираем $ab$: $12ab - ab = 11ab$ Собираем $a$: $-5a - 6a = -11a$ Шаг 3: Записываем результат. $$11ab - 11a$$ **Ответ: $11ab - 11a$** **б) $5x(3x^2 - 2x - 4)$** Здесь нужно умножить $5x$ на каждый член, который находится внутри скобок. Это называется распределительным свойством умножения. Шаг 1: Умножаем $5x$ на $3x^2$: $5x \cdot 3x^2 = (5 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^2) = 15x^{1+2} = 15x^3$ Шаг 2: Умножаем $5x$ на $-2x$: $5x \cdot (-2x) = (5 \cdot (-2)) \cdot (x \cdot x) = -10x^{1+1} = -10x^2$ Шаг 3: Умножаем $5x$ на $-4$: $5x \cdot (-4) = -20x$ Шаг 4: Собираем все результаты вместе. $$15x^3 - 10x^2 - 20x$$ **Ответ: $15x^3 - 10x^2 - 20x$** ### 2. Вынесите общий множитель за скобки: **a) $3x^2 + 9xy$** Чтобы вынести общий множитель, нужно найти то, на что делятся без остатка оба члена выражения. У нас есть $3x^2$ и $9xy$. Шаг 1: Ищем общий числовой множитель. Числа $3$ и $9$ делятся на $3$. Шаг 2: Ищем общие буквенные множители. В обоих членах есть $x$. В $3x^2$ есть $x^2$, в $9xy$ есть $x$. Мы можем вынести $x$ в первой степени, потому что он есть и там, и там. Значит, общий множитель — это $3x$. Шаг 3: Выносим $3x$ за скобки. Для этого каждый член нужно разделить на $3x$. $3x^2 \div 3x = x$ $9xy \div 3x = 3y$ Шаг 4: Записываем выражение с вынесенным множителем. $$3x(x + 3y)$$ **Ответ: $3x(x + 3y)$** **б) $10x^5 - 5x$** Снова ищем, на что делятся оба члена выражения: $10x^5$ и $5x$. Шаг 1: Общий числовой множитель для $10$ и $5$ — это $5$. Шаг 2: Общий буквенный множитель для $x^5$ и $x$ — это $x$. Значит, общий множитель — это $5x$. Шаг 3: Делим каждый член на $5x$. $10x^5 \div 5x = 2x^4$ $5x \div 5x = 1$ Шаг 4: Записываем выражение. $$5x(2x^4 - 1)$$ **Ответ: $5x(2x^4 - 1)$** ### 3. Решите уравнение $4(x + 1) = 15x - 7(2x + 5)$. Это уравнение, где нужно найти значение $x$. Сначала раскроем скобки и упростим обе части уравнения. Шаг 1: Раскрываем скобки. Слева: $4(x+1) = 4 \cdot x + 4 \cdot 1 = 4x + 4$ Справа: $-7(2x+5) = -7 \cdot 2x - 7 \cdot 5 = -14x - 35$ Теперь уравнение выглядит так: $$4x + 4 = 15x - 14x - 35$$ Шаг 2: Упрощаем правую часть уравнения, объединяя члены с $x$. $15x - 14x = x$ Теперь уравнение стало проще: $$4x + 4 = x - 35$$ Шаг 3: Переносим все члены с $x$ в одну сторону (например, влево), а числа — в другую сторону (вправо). Когда переносим член через знак равенства, его знак меняется на противоположный. Переносим $x$ из правой части влево: $4x - x$ Переносим $4$ из левой части вправо: $-35 - 4$ Получаем: $$4x - x = -35 - 4$$ Шаг 4: Выполняем вычисления. $3x = -39$ Шаг 5: Находим $x$, разделив обе части на $3$. $$x = \frac{-39}{3}$$ $$x = -13$$ **Ответ: $x = -13$** ### 4. Задача про ученика и мастера. Ученик за 8 ч работы сделал столько же деталей, сколько мастер за 5 ч. Сколько деталей в час изготовил ученик, если известно, что мастер изготовлял в час на 6 деталей больше, чем ученик? Давай обозначим неизвестное за $x$. Пусть $x$ — это количество деталей, которое ученик изготавливает за 1 час. Шаг 1: Выразим производительность мастера. Мастер изготовляет на 6 деталей больше, чем ученик, то есть $(x + 6)$ деталей в час. Шаг 2: Выразим общее количество деталей, которые сделал ученик. Ученик работал 8 часов, изготавливая $x$ деталей в час. Всего деталей ученика: $8 \cdot x = 8x$ Шаг 3: Выразим общее количество деталей, которые сделал мастер. Мастер работал 5 часов, изготавливая $(x + 6)$ деталей в час. Всего деталей мастера: $5 \cdot (x + 6)$ Шаг 4: Составим уравнение. По условию, ученик и мастер сделали одинаковое количество деталей. Значит: $$8x = 5(x + 6)$$ Шаг 5: Решим уравнение. Раскрываем скобки справа: $8x = 5x + 30$ Переносим $5x$ влево (меняем знак): $8x - 5x = 30$ Вычисляем: $3x = 30$ Находим $x$: $$x = \frac{30}{3}$$ $$x = 10$$ Итак, ученик изготавливал 10 деталей в час. **Ответ: Ученик изготовил 10 деталей в час.** ### 5. Решите уравнение $\frac{2x}{3} - \frac{2x+1}{6} = \frac{3x-5}{4}$. Это уравнение с дробями. Чтобы его решить, нужно избавиться от дробей, умножив всё уравнение на общее наименьшее кратное знаменателей. Шаг 1: Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей $3$, $6$ и $4$. Разложим числа на простые множители: $3 = 3$ $6 = 2 \cdot 3$ $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$ НОК = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. Шаг 2: Умножим каждую дробь в уравнении на $12$. $$12 \cdot \frac{2x}{3} - 12 \cdot \frac{2x+1}{6} = 12 \cdot \frac{3x-5}{4}$$ Шаг 3: Сокращаем и упрощаем. Первая дробь: $12 \cdot \frac{2x}{3} = 4 \cdot 2x = 8x$ Вторая дробь: $12 \cdot \frac{2x+1}{6} = 2 \cdot (2x+1)$ Третья дробь: $12 \cdot \frac{3x-5}{4} = 3 \cdot (3x-5)$ Теперь уравнение без дробей выглядит так: $$8x - 2(2x+1) = 3(3x-5)$$ Шаг 4: Раскрываем скобки. $8x - (2 \cdot 2x + 2 \cdot 1) = (3 \cdot 3x - 3 \cdot 5)$ $8x - (4x + 2) = 9x - 15$ Будь внимателен со знаком минус перед скобкой: $8x - 4x - 2 = 9x - 15$ Шаг 5: Упрощаем левую часть уравнения. $4x - 2 = 9x - 15$ Шаг 6: Переносим члены с $x$ в одну сторону, числа — в другую. Перенесем $4x$ вправо, а $-15$ влево. $-2 + 15 = 9x - 4x$ Шаг 7: Выполняем вычисления. $13 = 5x$ Шаг 8: Находим $x$. $$x = \frac{13}{5}$$ Можно записать это в виде десятичной дроби: $x = 2,6$. **Ответ: $x = 2,6$ (или $x = \frac{13}{5}$)** ### 6. Упростите выражение $4x(a+x+y)+4a(a-x-y)-4y(x-a-y)$. Здесь нужно раскрыть все скобки, умножив множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри. Затем собрать похожие члены. Шаг 1: Раскрываем первую скобку: $4x(a+x+y)$ $4x \cdot a + 4x \cdot x + 4x \cdot y = 4ax + 4x^2 + 4xy$ Шаг 2: Раскрываем вторую скобку: $4a(a-x-y)$ $4a \cdot a - 4a \cdot x - 4a \cdot y = 4a^2 - 4ax - 4ay$ Шаг 3: Раскрываем третью скобку: $-4y(x-a-y)$ Обрати внимание на знак минус перед $4y$. $-4y \cdot x - 4y \cdot (-a) - 4y \cdot (-y) = -4xy + 4ay + 4y^2$ Шаг 4: Записываем все раскрытые члены вместе: $$4ax + 4x^2 + 4xy + 4a^2 - 4ax - 4ay - 4xy + 4ay + 4y^2$$ Шаг 5: Объединяем похожие члены. Ищем пары, которые могут сократиться или сложиться. Посмотрим на $4ax$ и $-4ax$: $4ax - 4ax = 0$ (они взаимно уничтожаются). Посмотрим на $4xy$ и $-4xy$: $4xy - 4xy = 0$ (они тоже взаимно уничтожаются). Посмотрим на $-4ay$ и $4ay$: $-4ay + 4ay = 0$ (и эти тоже). Остаются только члены, которые не имеют "пар" для сокращения: $4x^2$ $4a^2$ $4y^2$ Шаг 6: Записываем упрощенное выражение. $$4x^2 + 4a^2 + 4y^2$$ **Ответ: $4x^2 + 4a^2 + 4y^2$**