Упрости выражение $5\frac{2}{3}a - a + 2\frac{1}{12}a$ и найди его значение при $a=1\frac{7}{9}$

Привет! Давай вместе разберем эту интересную задачку по математике. Она состоит из двух частей: сначала нужно упростить выражение, а потом найти его значение, подставив вместо буквы "а" заданное число. **Задание 4. Упростите выражение $5\frac{2}{3}a - a + 2\frac{1}{12}a$ и найдите его значение при $a=1\frac{7}{9}$.** Для начала упростим выражение $5\frac{2}{3}a - a + 2\frac{1}{12}a$. Это выражение состоит из "похожих" слагаемых, то есть слагаемых, которые содержат одну и ту же букву "а". Мы можем сложить или вычесть их коэффициенты (числа перед "а"). **Шаг 1: Преобразуем смешанные дроби в неправильные.** Так нам будет удобнее работать с ними. * Первая дробь: $5\frac{2}{3}$ Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель, а знаменатель оставить прежним. $$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$$ * Вторая дробь: $2\frac{1}{12}$ Делаем то же самое: $$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{24 + 1}{12} = \frac{25}{12}$$ * Слагаемое $-a$ можно представить как $-1a$ или $-\frac{1}{1}a$. Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{17}{3}a - \frac{1}{1}a + \frac{25}{12}a$$ **Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю.** У нас есть знаменатели 3, 1 и 12. Наименьший общий знаменатель для этих чисел - это 12. * $\frac{17}{3}$: Чтобы получить в знаменателе 12, нужно умножить 3 на 4. Значит, и числитель 17 тоже умножим на 4. $$\frac{17}{3} = \frac{17 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{68}{12}$$ * $\frac{1}{1}$: Чтобы получить в знаменателе 12, нужно умножить 1 на 12. Значит, и числитель 1 тоже умножим на 12. $$\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 12}{1 \cdot 12} = \frac{12}{12}$$ * Дробь $\frac{25}{12}$ уже имеет знаменатель 12, поэтому ее оставляем без изменений. Теперь выражение выглядит так: $$\frac{68}{12}a - \frac{12}{12}a + \frac{25}{12}a$$ **Шаг 3: Выполним действия с коэффициентами.** Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить общим. $$ \left(\frac{68}{12} - \frac{12}{12} + \frac{25}{12}\right)a = \left(\frac{68 - 12 + 25}{12}\right)a $$ Считаем числитель: $$68 - 12 = 56$$ $$56 + 25 = 81$$ Получаем: $$\frac{81}{12}a$$ **Шаг 4: Упростим полученную дробь.** Дробь $\frac{81}{12}$ можно сократить, так как и 81, и 12 делятся на 3. $$81 \div 3 = 27$$ $$12 \div 3 = 4$$ Значит, упрощенное выражение: $$\frac{27}{4}a$$ Мы можем оставить дробь в таком виде или перевести ее в смешанную: $\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$. Давай оставим пока в виде неправильной дроби, так удобнее для умножения. **Шаг 5: Найдем значение выражения при $a=1\frac{7}{9}$.** Сначала переведем значение $a$ из смешанной дроби в неправильную: $$a = 1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$$ Теперь подставим это значение $a$ в наше упрощенное выражение $\frac{27}{4}a$: $$\frac{27}{4} \cdot \frac{16}{9}$$ Чтобы умножить дроби, нужно умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Но сначала давай посмотрим, можем ли мы что-то сократить. * Числитель 27 и знаменатель 9: оба делятся на 9. $27 \div 9 = 3$ $9 \div 9 = 1$ * Числитель 16 и знаменатель 4: оба делятся на 4. $16 \div 4 = 4$ $4 \div 4 = 1$ Теперь наше умножение выглядит так: $$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} = 3 \cdot 4$$ $$3 \cdot 4 = 12$$ Итак, значение выражения равно 12. **Ответ: 12**