Укажи натуральные значения n, при которых $\sqrt{n^2 - 75}$ является натуральным числом

Привет! Давай разберемся с этой интересной задачей шаг за шагом. Нам нужно найти такие натуральные значения $n$, чтобы выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ тоже было натуральным числом. **Шаг 1: Обозначим искомое натуральное число.** Пусть результат вычисления корня будет натуральным числом $k$. То есть: $$ \sqrt{n^2 - 75} = k $$ где $n$ и $k$ — натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета: 1, 2, 3, и так далее. **Шаг 2: Избавимся от корня.** Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{n^2 - 75})^2 = k^2 $$ $$ n^2 - 75 = k^2 $$ **Шаг 3: Перегруппируем члены уравнения.** Перенесем $k^2$ в левую часть, а число 75 — в правую: $$ n^2 - k^2 = 75 $$ **Шаг 4: Разложим левую часть по формуле разности квадратов.** Мы знаем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим её к нашей левой части, где $a=n$ и $b=k$: $$ (n - k)(n + k) = 75 $$ **Шаг 5: Проанализируем множители.** Мы знаем, что $n$ и $k$ — натуральные числа. * Значит, $n+k$ — это тоже натуральное число, и оно точно больше 0. * Произведение $(n - k)(n + k)$ равно 75, что является положительным числом. Поскольку $n+k$ положительно, то и $n-k$ должно быть положительным. * Также, поскольку $k$ — натуральное число (то есть $k \ge 1$), то $n+k$ всегда будет больше, чем $n-k$. **Шаг 6: Найдем все пары натуральных множителей числа 75.** Нам нужно найти такие пары натуральных чисел, которые в произведении дают 75. Давайте их перечислим: 1. $1 \cdot 75 = 75$ 2. $3 \cdot 25 = 75$ 3. $5 \cdot 15 = 75$ Мы рассматриваем только те пары, где первый множитель меньше второго, так как $n-k < n+k$. **Шаг 7: Решим системы уравнений для каждой пары множителей.** **Случай 1:** Пусть $n - k = 1$ и $n + k = 75$. Сложим эти два уравнения: $$ (n - k) + (n + k) = 1 + 75 $$ $$ 2n = 76 $$ Разделим обе части на 2: $$ n = \frac{76}{2} $$ $$ n = 38 $$ Теперь подставим $n = 38$ в первое уравнение, чтобы найти $k$: $$ 38 - k = 1 $$ $$ k = 38 - 1 $$ $$ k = 37 $$ Проверим: $n=38$ и $k=37$ — натуральные числа. Это подходит! **Случай 2:** Пусть $n - k = 3$ и $n + k = 25$. Сложим эти два уравнения: $$ (n - k) + (n + k) = 3 + 25 $$ $$ 2n = 28 $$ Разделим обе части на 2: $$ n = \frac{28}{2} $$ $$ n = 14 $$ Теперь подставим $n = 14$ в первое уравнение, чтобы найти $k$: $$ 14 - k = 3 $$ $$ k = 14 - 3 $$ $$ k = 11 $$ Проверим: $n=14$ и $k=11$ — натуральные числа. Это тоже подходит! **Случай 3:** Пусть $n - k = 5$ и $n + k = 15$. Сложим эти два уравнения: $$ (n - k) + (n + k) = 5 + 15 $$ $$ 2n = 20 $$ Разделим обе части на 2: $$ n = \frac{20}{2} $$ $$ n = 10 $$ Теперь подставим $n = 10$ в первое уравнение, чтобы найти $k$: $$ 10 - k = 5 $$ $$ k = 10 - 5 $$ $$ k = 5 $$ Проверим: $n=10$ и $k=5$ — натуральные числа. Это тоже подходит! **Шаг 8: Проверим условие существования корня.** Для того чтобы $\sqrt{n^2 - 75}$ существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $n^2 - 75 \ge 0$, то есть $n^2 \ge 75$. * Для $n=38$: $38^2 = 1444 \ge 75$. Подходит. * Для $n=14$: $14^2 = 196 \ge 75$. Подходит. * Для $n=10$: $10^2 = 100 \ge 75$. Подходит. Все найденные значения $n$ удовлетворяют этому условию. Итак, мы нашли три натуральных значения $n$, при которых выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ является натуральным числом. **Ответ:** 10, 14, 38