Реши квадратные уравнения $-x^2+4x+3=0$, $36x^2-12x+1=0$, $x^2-2x-15=0$

Привет! Давай разберем эти квадратные уравнения шаг за шагом. Это очень увлекательно! Нам нужно решить следующие уравнения: 1. $-x^2+4x+3=0$ 2. $36x^2-12x+1=0$ 3. $x^2-2x-15=0$ Мы будем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения, которая выглядит так: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ Где $D$ - это дискриминант, который находится по формуле: $$D = b^2 - 4ac$$ Для начала, давайте вспомним, что квадратное уравнение обычно записывается в виде $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, и $c$ - это числа. ### 1. Решим уравнение: $-x^2+4x+3=0$ Сначала, чтобы было удобнее работать, давай умножим всё уравнение на $-1$. От этого корни не поменяются, но коэффициент перед $x^2$ станет положительным. $$(-1) \cdot (-x^2+4x+3) = (-1) \cdot 0$$ $$x^2-4x-3=0$$ Теперь определим коэффициенты $a$, $b$, и $c$: * $a = 1$ (это число перед $x^2$) * $b = -4$ (это число перед $x$) * $c = -3$ (это свободное число) **Шаг 1: Найдем дискриминант $D$.** Используем формулу $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)$$ $$D = 16 - (-12)$$ $$D = 16 + 12$$ $$D = 28$$ **Шаг 2: Найдем корни уравнения $x_1$ и $x_2$.** Так как дискриминант $D = 28$ больше нуля, у нас будет два разных корня. Используем формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2}$$ Мы можем вынести $\sqrt{4}$ из-под корня, так как $\sqrt{4}=2$: $$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$$ Теперь разделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель: $$x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{2} = \frac{4}{2} + \frac{2\sqrt{7}}{2} = 2 + \sqrt{7}$$ $$x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{2\sqrt{7}}{2} = 2 - \sqrt{7}$$ **Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{7}$, $x_2 = 2 - \sqrt{7}$** ### 2. Решим уравнение: $36x^2-12x+1=0$ Определим коэффициенты $a$, $b$, и $c$: * $a = 36$ * $b = -12$ * $c = 1$ **Шаг 1: Найдем дискриминант $D$.** Используем формулу $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1$$ $$D = 144 - 144$$ $$D = 0$$ **Шаг 2: Найдем корень уравнения $x$.** Так как дискриминант $D = 0$, у нас будет только один корень (или два одинаковых). Используем упрощенную формулу $x = \frac{-b}{2a}$: $$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36}$$ $$x = \frac{12}{72}$$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12: $$x = \frac{1}{6}$$ Кстати, это уравнение можно было решить и другим способом, заметив, что это полный квадрат: $(6x-1)^2 = 0$. Из этого сразу следует, что $6x-1=0$, а значит $x=\frac{1}{6}$. **Ответ: $x = \frac{1}{6}$** ### 3. Решим уравнение: $x^2-2x-15=0$ Определим коэффициенты $a$, $b$, и $c$: * $a = 1$ * $b = -2$ * $c = -15$ **Шаг 1: Найдем дискриминант $D$.** Используем формулу $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)$$ $$D = 4 - (-60)$$ $$D = 4 + 60$$ $$D = 64$$ **Шаг 2: Найдем корни уравнения $x_1$ и $x_2$.** Так как дискриминант $D = 64$ больше нуля, у нас будет два разных корня. Используем формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{2 \pm 8}{2}$$ Теперь найдем два корня: $$x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ **Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$}**