Реши квадратные уравнения $-x^2+4x+3=0$ и $36x^2-12x+1=0$

Привет! Отлично, давай разберёмся с этими квадратными уравнениями шаг за шагом. Это не так сложно, как кажется, главное — быть внимательным. ### Решаем уравнение: #### 1. Уравнение: $-x^2+4x+3=0$ Это квадратное уравнение. Его общий вид такой: $ax^2 + bx + c = 0$. Для начала, чтобы было удобнее, давай сделаем так, чтобы коэффициент перед $x^2$ был положительным. Для этого умножим всё уравнение на $-1$: $$ (-1) \cdot (-x^2+4x+3) = (-1) \cdot 0 $$ $$ x^2 - 4x - 3 = 0 $$ Теперь наше уравнение выглядит так: $x^2 - 4x - 3 = 0$. Здесь коэффициенты такие: * $a = 1$ (это число перед $x^2$) * $b = -4$ (это число перед $x$) * $c = -3$ (это свободный член, число без $x$) Для решения квадратных уравнений мы используем формулу через дискриминант. Сначала найдём дискриминант ($D$) по формуле: $D = b^2 - 4ac$. 1. **Находим дискриминант ($D$):** Подставляем наши значения $a$, $b$, $c$ в формулу для дискриминанта: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) $$ $$ D = 16 - (-12) $$ $$ D = 16 + 12 $$ $$ D = 28 $$ 2. **Находим корни уравнения ($x_1$ и $x_2$):** Поскольку дискриминант $D = 28$ больше нуля, у нас будет два разных корня. Формула для корней квадратного уравнения такая: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Подставляем наши значения $a$, $b$ и $D$: $$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} $$ Давай упростим $\sqrt{28}$. Мы знаем, что $28 = 4 \cdot 7$, а $\sqrt{4} = 2$. Значит, $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$. Продолжаем подставлять в формулу: $$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} $$ Теперь можно вынести 2 за скобки в числителе и сократить со знаменателем: $$ x = \frac{2(2 \pm \sqrt{7})}{2} $$ $$ x = 2 \pm \sqrt{7} $$ Итак, у нас два корня: $$ x_1 = 2 + \sqrt{7} $$ $$ x_2 = 2 - \sqrt{7} $$ **Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{7}$, $x_2 = 2 - \sqrt{7}$** --- #### 2. Уравнение: $36x^2-12x+1=0$ Это тоже квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Здесь коэффициенты такие: * $a = 36$ * $b = -12$ * $c = 1$ Опять же, будем использовать формулу через дискриминант. 1. **Находим дискриминант ($D$):** Подставляем наши значения $a$, $b$, $c$ в формулу $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 $$ $$ D = 144 - 144 $$ $$ D = 0 $$ 2. **Находим корни уравнения ($x$):** Поскольку дискриминант $D = 0$, у нас будет ровно один корень (или, как говорят, два совпадающих корня). Формула для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Подставляем наши значения $a$, $b$ и $D$: $$ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 36} $$ $$ x = \frac{12 \pm 0}{72} $$ $$ x = \frac{12}{72} $$ Теперь сократим дробь $\frac{12}{72}$. Обе части делятся на 12. $$ x = \frac{12 \div 12}{72 \div 12} $$ $$ x = \frac{1}{6} $$ Кстати, это уравнение можно было заметить как формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Если мы посмотрим на $36x^2 - 12x + 1$, то $36x^2 = (6x)^2$, а $1 = 1^2$. А средний член $-12x = -2 \cdot (6x) \cdot 1$. Значит, уравнение можно записать как $(6x - 1)^2 = 0$. Тогда $6x - 1 = 0$, откуда $6x = 1$, и $x = \frac{1}{6}$. Это просто другой способ получить тот же результат, но метод с дискриминантом работает для любых квадратных уравнений. **Ответ: $x = \frac{1}{6}$**