Реши уравнение x³ + 7x² - 6 = 0

Привет! Давай вместе решим это уравнение. У нас есть уравнение третьей степени, или кубическое уравнение: $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$. Чтобы найти корни такого уравнения, мы можем попробовать найти целые корни. Если у уравнения есть целые корни, то они обязательно будут делителями свободного члена (числа без "икса"), в нашем случае это -6. **Шаг 1: Найдём возможные целые корни.** Делители числа -6 это: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. **Шаг 2: Проверим эти значения.** Подставим каждое значение в уравнение вместо $x$ и посмотрим, получится ли 0. * Если $x = 1$: $$(1)^3 + 7(1)^2 - 6 = 1 + 7 - 6 = 8 - 6 = 2$$ Это не 0, значит, $x=1$ не является корнем. * Если $x = -1$: $$(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7(1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 6 - 6 = 0$$ Отлично! Мы нашли первый корень: $x = -1$. **Шаг 3: Разделим многочлен.** Поскольку $x = -1$ является корнем, это значит, что многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ делится без остатка на $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$. Давай выполним деление многочленов "уголком": $$ \begin{array}{r|l} x^3 + 7x^2 + 0x - 6 & x+1 \\ \cline{2-2} \underline{-(x^3 + x^2)} \hphantom{+0x - 6} & x^2 + 6x - 6 \\ \hphantom{-} 6x^2 + 0x \hphantom{- 6} \\ \underline{-(6x^2 + 6x)} \hphantom{- 6} \\ \hphantom{- 6x^2} -6x - 6 \\ \underline{-(-6x - 6)} \\ \hphantom{- 6x^2 - 6x} 0 \end{array} $$ В результате деления мы получили квадратный трёхчлен: $x^2 + 6x - 6$. Значит, исходное уравнение можно записать как: $$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$$ Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. * Первый множитель: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Этот корень мы уже нашли. * Второй множитель: $x^2 + 6x - 6 = 0$. Это квадратное уравнение. **Шаг 4: Решим квадратное уравнение.** Для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ мы используем формулу корней: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем уравнении $x^2 + 6x - 6 = 0$: $a = 1$ $b = 6$ $c = -6$ Сначала найдём дискриминант ($\Delta$): $$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$\Delta = (6)^2 - 4(1)(-6)$$ $$\Delta = 36 + 24$$ $$\Delta = 60$$ Теперь найдём корни: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2}$$ $$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2}$$ Разделим числитель на 2: $$x = -3 \pm \sqrt{15}$$ Итак, у нас получилось два корня из квадратного уравнения: $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ $x_3 = -3 - \sqrt{15}$ **Шаг 5: Запишем все корни уравнения.** Корни исходного уравнения $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ это: $x_1 = -1$ $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ $x_3 = -3 - \sqrt{15}$ **Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -3 + \sqrt{15}$, $x_3 = -3 - \sqrt{15}$**