Найди значение выражения $\sqrt{(-a)^7 \cdot (-a)^5}$ при $a=10$

Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими выражениями. Давай решим их по очереди, шаг за шагом. ### Задание 582. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{(-a)^7 \cdot (-a)^5}$ при $a=10$. Сначала упростим выражение под корнем. У нас есть произведение двух одинаковых оснований с разными степенями. Вспомни правило: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. 1. Сложим степени: $7 + 5 = 12$. Получаем: $$ \sqrt{(-a)^{7+5}} = \sqrt{(-a)^{12}} $$ 2. Теперь у нас $(-a)$ в степени $12$. Так как степень чётная, минус исчезает (любое отрицательное число в чётной степени становится положительным). $$ \sqrt{(-a)^{12}} = \sqrt{a^{12}} $$ 3. Извлекаем квадратный корень из $a^{12}$. Для этого степень делится на 2: $\sqrt{x^k} = x^{k/2}$. $$ \sqrt{a^{12}} = a^{12/2} = a^6 $$ 4. Теперь подставим значение $a=10$ в упрощённое выражение $a^6$: $$ 10^6 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000\,000 $$ **Ответ: 1000000** ### Задание 583. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{100a^{21}}{a^{19}}}$ при $a=8$. Сначала упростим выражение под корнем. Вспомни правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. 1. Упростим часть с $a$: $\frac{a^{21}}{a^{19}} = a^{21-19} = a^2$. Выражение примет вид: $$ \sqrt{100a^2} $$ 2. Теперь извлечём квадратный корень из произведения. Вспомни, что $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$. $$ \sqrt{100a^2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a^2} $$ 3. Извлекаем корни: * $\sqrt{100} = 10$ * $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль $a$, потому что квадратный корень всегда даёт неотрицательный результат, а $a$ может быть как положительным, так и отрицательным. В данном случае $a=8$, что положительно.) Получаем: $$ 10|a| $$ 4. Подставим значение $a=8$. Так как $8$ – положительное число, $|8|=8$. $$ 10 \cdot 8 = 80 $$ **Ответ: 80** ### Задание 584. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{64a^{20}}{a^{18}}}$ при $a=5$. Действуем так же, как в предыдущем задании. Сначала упростим выражение под корнем. 1. Упростим часть с $a$: $\frac{a^{20}}{a^{18}} = a^{20-18} = a^2$. Выражение примет вид: $$ \sqrt{64a^2} $$ 2. Извлечём квадратный корень из произведения: $$ \sqrt{64a^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a^2} $$ 3. Извлекаем корни: * $\sqrt{64} = 8$ * $\sqrt{a^2} = |a|$ Получаем: $$ 8|a| $$ 4. Подставим значение $a=5$. Так как $5$ – положительное число, $|5|=5$. $$ 8 \cdot 5 = 40 $$ **Ответ: 40** ### Задание 585. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{0.01x^8y^2}$ при $x=3$ и $y=7$. Сначала упростим выражение под корнем, извлекая корень из каждого множителя. 1. Разложим корень на произведение корней: $$ \sqrt{0.01x^8y^2} = \sqrt{0.01} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^2} $$ 2. Извлекаем каждый корень отдельно: * $\sqrt{0.01}$. Помни, что $0.01 = \frac{1}{100}$, а $\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0.1$. $$ \sqrt{0.01} = 0.1 $$ * $\sqrt{x^8}$. Для извлечения корня из степени, степень делится на 2: $$ \sqrt{x^8} = x^{8/2} = x^4 $$ * $\sqrt{y^2}$. Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа: $$ \sqrt{y^2} = |y| $$ Собираем всё вместе: $$ 0.1x^4|y| $$ 3. Теперь подставим заданные значения $x=3$ и $y=7$: * Так как $y=7$ (положительное число), то $|y|=|7|=7$. $$ 0.1 \cdot (3)^4 \cdot 7 $$ 4. Вычислим $3^4$: $$ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 $$ 5. Теперь выполним умножение: $$ 0.1 \cdot 81 \cdot 7 $$ $$ 8.1 \cdot 7 = 56.7 $$ **Ответ: 56.7**