Значение какого из выражений является иррациональным?

Привет! Давай разберемся с этим заданием. Нам нужно найти, какое из выражений является иррациональным числом. Вспомним, что такое иррациональное число. Это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q$ не равно нулю. Проще говоря, это числа, десятичная запись которых бесконечна и непериодична, например, $\sqrt{2}$, $\pi$. А рациональные числа — это те, которые можно записать в виде дроби (целые числа, обыкновенные и десятичные дроби). Давай по порядку рассмотрим каждое выражение: **1) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$** * Когда мы умножаем квадратные корни, мы можем записать все под одним корнем: $$ \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} $$ * Выполним умножение под корнем: $$ \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} $$ * Теперь найдем значение квадратного корня из 16: $$ \sqrt{16} = 4 $$ * Число 4 — это целое число, а значит, его можно представить как дробь $\frac{4}{1}$. Это рациональное число. **2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{20}}$** * Здесь у нас деление квадратных корней. Мы можем объединить их под одним корнем: $$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{2}{20}} $$ * Упростим дробь под корнем: $$ \sqrt{\frac{2}{20}} = \sqrt{\frac{1}{10}} $$ * Теперь разобьем корень обратно на два корня: $$ \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} $$ * Найдем значение $\sqrt{1}$: $$ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$ * Число 10 не является точным квадратом никакого целого числа ($3^2=9$, $4^2=16$). Значит, $\sqrt{10}$ — это иррациональное число. А если мы делим рациональное число (1) на иррациональное ($\sqrt{10}$), то в результате получаем иррациональное число. **3) $\sqrt{12}(\sqrt{12} + \sqrt{3})$** * Здесь нам нужно раскрыть скобки, умножив $\sqrt{12}$ на каждое слагаемое внутри скобок: $$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} + \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} $$ * Вычислим первое произведение. Когда корень умножается сам на себя, он исчезает: $$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} = 12 $$ * Вычислим второе произведение, объединив под одним корнем: $$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} $$ * Найдем значение квадратного корня из 36: $$ \sqrt{36} = 6 $$ * Теперь сложим полученные значения: $$ 12 + 6 = 18 $$ * Число 18 — это целое число, а значит, его можно представить как дробь $\frac{18}{1}$. Это рациональное число. **4) $(\sqrt{12})^2$** * Когда мы возводим квадратный корень в квадрат, то корень и квадрат "уничтожают" друг друга, и остается только число под корнем: $$ (\sqrt{12})^2 = 12 $$ * Число 12 — это целое число, а значит, его можно представить как дробь $\frac{12}{1}$. Это рациональное число. Итак, после проверки всех выражений мы видим, что только выражение под номером 2 дает иррациональное число. **Ответ: 2**