Помоги решить все задания из изображения

Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с этими заданиями. Давай решим их по порядку. ### Задание 544 Нам нужно найти значение выражения $4 \cdot \sqrt{6}$ и выбрать из предложенных вариантов. Чтобы внести число под знак квадратного корня, его нужно возвести в квадрат. Помни, что $a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$. 1. Внесем число 4 под знак квадратного корня: $$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$$ 2. Теперь подставим это в наше выражение: $$4 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6}$$ 3. Когда мы умножаем два квадратных корня, мы можем умножить числа под корнями: $$\sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{16 \cdot 6}$$ 4. Выполним умножение: $$\sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{96}$$ Сравниваем полученный результат с вариантами ответов: 1) 24 2) $\sqrt{96}$ 3) 12 4) $\sqrt{24}$ Наш результат $\sqrt{96}$ совпадает с вариантом 2). **Ответ: 2) $\sqrt{96}$** --- ### Задание 546 Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{3^6}$ и выбрать из предложенных вариантов. Когда мы берем квадратный корень из числа, возведенного в степень, мы можем разделить показатель степени на 2. Помни правило: $\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}$. 1. Применим это правило к нашему выражению: $$\sqrt{3^6} = 3^{\frac{6}{2}}$$ 2. Выполним деление в показателе степени: $$3^{\frac{6}{2}} = 3^3$$ 3. Теперь вычислим $3^3$: $$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$$ Сравниваем полученный результат с вариантами ответов: 1) 243 2) 27 3) 81 4) $\frac{1}{27}$ Наш результат 27 совпадает с вариантом 2). **Ответ: 2) 27** --- ### Задание 547 Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{4^5}$. Как и в предыдущем задании, мы можем использовать правило $\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}$. 1. Применим это правило к нашему выражению: $$\sqrt{4^5} = 4^{\frac{5}{2}}$$ 2. Показатель степени $\frac{5}{2}$ можно записать как $2,5$. Это значит $4^{2,5} = 4^2 \cdot 4^{0,5}$. Помни, что $a^{0,5}$ или $a^{\frac{1}{2}}$ — это то же самое, что $\sqrt{a}$. $$4^{\frac{5}{2}} = 4^{2 + \frac{1}{2}} = 4^2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$$ 3. Вычислим $4^2$ и $4^{\frac{1}{2}}$: $$4^2 = 16$$ $$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$$ 4. Теперь перемножим полученные значения: $$16 \cdot 2 = 32$$ Обрати внимание, что варианты ответов для этого задания не видны на картинке. Поэтому мы просто вычислили значение. **Ответ: 32** --- ### Задание 549 Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ и выбрать из предложенных вариантов. Чтобы вычесть корни, они должны быть "подобными", то есть иметь одинаковое число под знаком корня. Давай попробуем упростить $\sqrt{12}$. 1. Разложим число 12 на множители так, чтобы один из них был квадратом (например, 4, 9, 16 и т.д.). $$12 = 4 \cdot 3$$ 2. Теперь заменим 12 в выражении: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}$$ 3. Вынесем $\sqrt{4}$ из-под знака корня: $$\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 4. Теперь подставим это упрощенное значение обратно в исходное выражение: $$\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$$ 5. Теперь у нас есть подобные корни. Мы можем вычесть их коэффициенты (числа перед корнем). Помни, что $\sqrt{3}$ это то же самое, что $1\sqrt{3}$. $$2\sqrt{3} - 1\sqrt{3} = (2 - 1)\sqrt{3}$$ 6. Выполним вычитание: $$(2 - 1)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ Сравниваем полученный результат с вариантами ответов: 1) $3\sqrt{3}$ 2) $\sqrt{3}$ 3) 3 4) 2 Наш результат $\sqrt{3}$ совпадает с вариантом 2). **Ответ: 2) $\sqrt{3}$**