Упрости выражения: а) $5xy^3(-2x^2y)^4$; б) $(2y - 3x)^2 - (3x + 2y)(2y - 3x)$

Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Это задачи на правила действий со степенями и на вынесение общего множителя. ### а) Упростить выражение $5xy^3(-2x^2y)^4$ Чтобы упростить это выражение, нам нужно сначала разобраться со скобками, возведенными в степень. **Шаг 1: Возводим в степень выражение в скобках.** У нас есть $(-2x^2y)^4$. Это значит, что каждый множитель внутри скобки нужно возвести в четвертую степень: $$(-2x^2y)^4 = (-2)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4$$ Посчитаем каждую часть: * $(-2)^4$: это $-2 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$. Так как степень (4) четная, результат будет положительным. $(-2)^4 = 16$. * $(x^2)^4$: когда степень возводится в степень, показатели степеней перемножаются. $(x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8$. * $y^4$: просто $y^4$. Итак, $(-2x^2y)^4 = 16x^8y^4$. **Шаг 2: Подставляем полученное выражение обратно и перемножаем.** Теперь наше выражение выглядит так: $$5xy^3 \cdot 16x^8y^4$$ Перемножим числовые множители, множители с $x$ и множители с $y$ отдельно: * Числовые множители: $5 \cdot 16 = 80$. * Множители с $x$: $x \cdot x^8$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (помни, $x$ это то же самое, что $x^1$). $x^1 \cdot x^8 = x^{1+8} = x^9$. * Множители с $y$: $y^3 \cdot y^4$. Тоже складываем показатели. $y^3 \cdot y^4 = y^{3+4} = y^7$. **Шаг 3: Собираем все части вместе.** $$80x^9y^7$$ **Ответ: $80x^9y^7$** ### б) Упростить выражение $(2y - 3x)^2 - (3x + 2y)(2y - 3x)$ Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель за скобки. **Шаг 1: Находим общий множитель.** В первом слагаемом у нас $(2y - 3x)^2$, что можно записать как $(2y - 3x) \cdot (2y - 3x)$. Во втором слагаемом у нас $(3x + 2y)(2y - 3x)$. Ты видишь, что $(2y - 3x)$ есть в обоих слагаемых? Это наш общий множитель. **Шаг 2: Выносим общий множитель за скобки.** Давай вынесем $(2y - 3x)$ за скобки. $$(2y - 3x)^2 - (3x + 2y)(2y - 3x) = (2y - 3x) \left[ (2y - 3x) - (3x + 2y) \right]$$ Обрати внимание, что внутри квадратных скобок мы оставляем то, что осталось от каждого слагаемого после вынесения $(2y - 3x)$. От первого слагаемого $(2y - 3x)^2$ осталось $(2y - 3x)$. От второго слагаемого $-(3x + 2y)(2y - 3x)$ осталось $-(3x + 2y)$. **Шаг 3: Упрощаем выражение внутри квадратных скобок.** Давай раскроем скобки внутри квадратных скобок: $$(2y - 3x) - (3x + 2y)$$ Когда перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные при раскрытии: $$2y - 3x - 3x - 2y$$ **Шаг 4: Приводим подобные слагаемые.** Теперь сгруппируем и сложим (или вычтем) одинаковые буквы: * Для $y$: $2y - 2y = 0$. Они взаимно уничтожаются. * Для $x$: $-3x - 3x = -6x$. **Шаг 5: Подставляем упрощенное выражение обратно.** Теперь выражение выглядит так: $$(2y - 3x) \cdot (-6x)$$ **Шаг 6: Выполняем умножение.** Умножим $-6x$ на каждый член в скобке $(2y - 3x)$: $$(-6x) \cdot (2y) + (-6x) \cdot (-3x)$$ $$-12xy + 18x^2$$ Обычно принято записывать члены в таком порядке, чтобы степень переменных уменьшалась, или в алфавитном порядке. Запишем так: $$18x^2 - 12xy$$ **Ответ: $18x^2 - 12xy$**