Найди значение выражения 20/31 • (10 1/5 : 1 2/15 - 2 4/9 + 3 7/9) - 2 5/6

Привет! Давай вместе разберем это выражение по шагам, чтобы найти его значение. Здесь есть и обыкновенные дроби, и смешанные числа, и разные действия. Будем двигаться по правилам: сначала действия в скобках, потом умножение, а затем вычитание. Наше выражение выглядит так: $$ \frac{20}{31} \cdot \left( 10 \frac{1}{5} : 1 \frac{2}{15} - 2 \frac{4}{9} + 3 \frac{7}{9} \right) - 2 \frac{5}{6} $$ **Шаг 1: Переведем все смешанные числа в неправильные дроби.** Так будет удобнее выполнять действия. * $10 \frac{1}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{50 + 1}{5} = \frac{51}{5}$ * $1 \frac{2}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{15 + 2}{15} = \frac{17}{15}$ * $2 \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{18 + 4}{9} = \frac{22}{9}$ * $3 \frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{27 + 7}{9} = \frac{34}{9}$ * $2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{12 + 5}{6} = \frac{17}{6}$ Теперь наше выражение выглядит так: $$ \frac{20}{31} \cdot \left( \frac{51}{5} : \frac{17}{15} - \frac{22}{9} + \frac{34}{9} \right) - \frac{17}{6} $$ **Шаг 2: Выполним действие деления внутри скобок.** Нужно разделить $\frac{51}{5}$ на $\frac{17}{15}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь. $$ \frac{51}{5} : \frac{17}{15} = \frac{51}{5} \cdot \frac{15}{17} $$ Теперь можно сократить: 51 делится на 17 (будет 3), а 15 делится на 5 (будет 3). $$ \frac{3 \cdot \cancel{17}}{\cancel{5}} \cdot \frac{3 \cdot \cancel{5}}{\cancel{17}} = 3 \cdot 3 = 9 $$ Итак, первая часть в скобках равна 9. Наше выражение стало проще: $$ \frac{20}{31} \cdot \left( 9 - \frac{22}{9} + \frac{34}{9} \right) - \frac{17}{6} $$ **Шаг 3: Выполним остальные действия внутри скобок.** Теперь у нас сложение и вычитание дробей: $9 - \frac{22}{9} + \frac{34}{9}$. Удобно сначала сложить и вычесть дроби, у которых уже одинаковый знаменатель: $$ -\frac{22}{9} + \frac{34}{9} = \frac{-22 + 34}{9} = \frac{12}{9} $$ Эту дробь можно сократить на 3: $$ \frac{12}{9} = \frac{12:3}{9:3} = \frac{4}{3} $$ Теперь внутри скобок осталось: $$ 9 + \frac{4}{3} $$ Чтобы сложить целое число с дробью, представим целое число как дробь с тем же знаменателем (3): $9 = \frac{9 \cdot 3}{3} = \frac{27}{3}$. $$ \frac{27}{3} + \frac{4}{3} = \frac{27 + 4}{3} = \frac{31}{3} $$ Мы закончили со скобками! Выражение теперь выглядит так: $$ \frac{20}{31} \cdot \frac{31}{3} - \frac{17}{6} $$ **Шаг 4: Выполним умножение.** Нам нужно умножить $\frac{20}{31}$ на $\frac{31}{3}$. Здесь можно легко сократить 31 в числителе и 31 в знаменателе: $$ \frac{20}{\cancel{31}} \cdot \frac{\cancel{31}}{3} = \frac{20}{3} $$ Выражение стало совсем коротким: $$ \frac{20}{3} - \frac{17}{6} $$ **Шаг 5: Выполним последнее действие - вычитание.** Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 будет 6. Первую дробь $\frac{20}{3}$ нужно умножить на $\frac{2}{2}$: $$ \frac{20}{3} = \frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{40}{6} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{40}{6} - \frac{17}{6} = \frac{40 - 17}{6} = \frac{23}{6} $$ Эту неправильную дробь можно перевести в смешанное число. 23 разделить на 6 будет 3 целых и 5 в остатке ($23 = 6 \cdot 3 + 5$). $$ \frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6} $$ Вот и все! Мы нашли значение выражения. **Ответ: $3 \frac{5}{6}$**