Вычисли или упрости выражения со степенями

Привет! Давай разберемся с этими выражениями. Здесь нужно будет вспомнить и применить основные правила работы со степенями. ### Задание №1. Вычислить (упростить): #### а) $\frac{5^3 \cdot 5^4 \cdot 5}{(5^2)^3}$ Давай упростим это выражение шаг за шагом: **Шаг 1: Упростим числитель.** В числителе у нас произведение степеней с одинаковым основанием (числом 5). Помни правило: когда умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются. Заметим, что $5$ — это то же самое, что $5^1$. Значит, $5^3 \cdot 5^4 \cdot 5^1 = 5^{3+4+1} = 5^8$. Числитель стал $5^8$. **Шаг 2: Упростим знаменатель.** В знаменателе у нас "степень в степени": $(5^2)^3$. Помни правило: когда возводим степень в степень, показатели перемножаются. Значит, $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$. Знаменатель стал $5^6$. **Шаг 3: Разделим числитель на знаменатель.** Теперь у нас выражение выглядит так: $\frac{5^8}{5^6}$. Помни правило: когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются. Значит, $\frac{5^8}{5^6} = 5^{8-6} = 5^2$. **Шаг 4: Вычислим значение.** $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. **Ответ: 25** #### б) $\frac{7^7}{(7^5)^2}$ Упрощаем по тем же правилам: **Шаг 1: Упростим знаменатель.** У нас $(7^5)^2$. Возводим степень в степень, поэтому показатели перемножаются: $(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$. Знаменатель стал $7^{10}$. **Шаг 2: Разделим числитель на знаменатель.** Теперь у нас дробь: $\frac{7^7}{7^{10}}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{7^7}{7^{10}} = 7^{7-10} = 7^{-3}$. **Шаг 3: Преобразуем отрицательный показатель.** Помни, что степень с отрицательным показателем можно записать как дробь: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Значит, $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$. **Шаг 4: Вычислим значение.** $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$. Итак, $\frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$. **Ответ: $\frac{1}{343}$** #### в) $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2$ Это выражение с переменной, но правила степеней остаются такими же: **Шаг 1: Упростим числитель дроби.** Числитель: $(b^3)^2 b^3 b$. Сначала разберемся со степенью в степени: $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$. Теперь у нас произведение: $b^6 \cdot b^3 \cdot b$. Помни, что $b$ — это $b^1$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $b^6 \cdot b^3 \cdot b^1 = b^{6+3+1} = b^{10}$. Числитель стал $b^{10}$. **Шаг 2: Упростим знаменатель дроби.** Знаменатель: $(b^2)^4$. Возводим степень в степень, показатели перемножаются: $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$. Знаменатель стал $b^8$. **Шаг 3: Упростим дробь.** Теперь дробь выглядит как $\frac{b^{10}}{b^8}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{b^{10}}{b^8} = b^{10-8} = b^2$. **Шаг 4: Выполним вычитание.** Исходное выражение было $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2$. Мы упростили дробь до $b^2$. Получаем: $b^2 - b^2$. $b^2 - b^2 = 0$. **Ответ: 0** #### г) $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{(3^4)b^6} + b$ Здесь есть числа и переменные вместе. Действуем по порядку: **Шаг 1: Упростим числитель дроби.** Числитель: $(3b^2)^2 9b^3$. Сначала раскроем $(3b^2)^2$. Помни правило: $(ab)^n = a^n b^n$, то есть каждый множитель в скобках возводится в степень. $(3b^2)^2 = 3^2 \cdot (b^2)^2$. $3^2 = 9$. $(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$. Итак, $(3b^2)^2 = 9b^4$. Теперь подставим это обратно в числитель: $9b^4 \cdot 9b^3$. Перемножим числа: $9 \cdot 9 = 81$. Перемножим степени переменной $b$: $b^4 \cdot b^3 = b^{4+3} = b^7$. Числитель стал $81b^7$. **Шаг 2: Упростим знаменатель дроби.** Знаменатель: $(3^4)b^6$. Вычислим $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Знаменатель стал $81b^6$. **Шаг 3: Упростим дробь.** Теперь дробь выглядит как $\frac{81b^7}{81b^6}$. Разделим числовые коэффициенты: $\frac{81}{81} = 1$. Разделим степени переменной $b$: $\frac{b^7}{b^6} = b^{7-6} = b^1 = b$. Таким образом, дробь упростилась до $1 \cdot b = b$. **Шаг 4: Выполним сложение.** Исходное выражение было $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{(3^4)b^6} + b$. Мы упростили дробь до $b$. Получаем: $b + b$. $b + b = 2b$. **Ответ: 2b**