Конечно, давай решим эти задания по порядку!
**431.** Найдите значение выражения $\frac{b^2}{36a^2 - b^2} : \frac{b}{6a - b}$ при $a = \frac{5}{6}$, $b = \frac{5}{9}$.
Сначала упростим выражение. Помни, что деление – это умножение на перевернутую дробь:
$$\frac{b^2}{36a^2 - b^2} : \frac{b}{6a - b} = \frac{b^2}{36a^2 - b^2} \cdot \frac{6a - b}{b}$$
Заметим, что $36a^2 - b^2$ это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$$36a^2 - b^2 = (6a)^2 - b^2 = (6a - b)(6a + b)$$
Теперь перепишем выражение с учетом разложения:
$$\frac{b^2}{(6a - b)(6a + b)} \cdot \frac{6a - b}{b}$$
Сократим $(6a - b)$ в числителе и знаменателе, а также сократим $b$:
$$\frac{b^2}{(6a - b)(6a + b)} \cdot \frac{6a - b}{b} = \frac{b}{6a + b}$$
Теперь подставим значения $a = \frac{5}{6}$ и $b = \frac{5}{9}$ в упрощенное выражение:
$$\frac{\frac{5}{9}}{6 \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{5 + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{45}{9} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{50}{9}}$$
Разделим дроби:
$$\frac{\frac{5}{9}}{\frac{50}{9}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{50} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 50} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$$
**Ответ: 1/10**
**432.** Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 25}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a - 10}$ при $a = \frac{1}{15}$.
Сначала упростим выражение. Заметим, что $a^2 - 25$ это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$$
Также вынесем 2 из выражения $2a - 10$:
$$2a - 10 = 2(a - 5)$$
Теперь перепишем выражение с учетом разложения:
$$\frac{(a - 5)(a + 5)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a - 5)}$$
Сократим $(a - 5)$ в числителе и знаменателе, а также сократим $a$:
$$\frac{(a - 5)(a + 5)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a - 5)} = \frac{a + 5}{4a}$$
Теперь подставим значение $a = \frac{1}{15}$ в упрощенное выражение:
$$\frac{\frac{1}{15} + 5}{4 \cdot \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15} + \frac{75}{15}}{\frac{4}{15}} = \frac{\frac{76}{15}}{\frac{4}{15}}$$
Разделим дроби:
$$\frac{\frac{76}{15}}{\frac{4}{15}} = \frac{76}{15} \cdot \frac{15}{4} = \frac{76}{4} = 19$$
**Ответ: 19**
**433.** Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 16}{a^2} \cdot \frac{a}{a - 4}$ при $a = \frac{1}{20}$.
Сначала упростим выражение. Заметим, что $a^2 - 16$ это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$$a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$$
Теперь перепишем выражение с учетом разложения:
$$\frac{(a - 4)(a + 4)}{a^2} \cdot \frac{a}{a - 4}$$
Сократим $(a - 4)$ в числителе и знаменателе, а также сократим $a$:
$$\frac{(a - 4)(a + 4)}{a^2} \cdot \frac{a}{a - 4} = \frac{a + 4}{a}$$
Теперь подставим значение $a = \frac{1}{20}$ в упрощенное выражение:
$$\frac{\frac{1}{20} + 4}{\frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{20} + \frac{80}{20}}{\frac{1}{20}} = \frac{\frac{81}{20}}{\frac{1}{20}}$$
Разделим дроби:
$$\frac{\frac{81}{20}}{\frac{1}{20}} = \frac{81}{20} \cdot \frac{20}{1} = 81$$
**Ответ: 81**
**434.** Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 64}{a^2} \cdot \frac{a}{a + 8}$ при $a = \frac{1}{23}$.
Сначала упростим выражение. Заметим, что $a^2 - 64$ это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$$a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8)$$
Теперь перепишем выражение с учетом разложения:
$$\frac{(a - 8)(a + 8)}{a^2} \cdot \frac{a}{a + 8}$$
Сократим $(a + 8)$ в числителе и знаменателе, а также сократим $a$:
$$\frac{(a - 8)(a + 8)}{a^2} \cdot \frac{a}{a + 8} = \frac{a - 8}{a}$$
Теперь подставим значение $a = \frac{1}{23}$ в упрощенное выражение:
$$\frac{\frac{1}{23} - 8}{\frac{1}{23}} = \frac{\frac{1}{23} - \frac{184}{23}}{\frac{1}{23}} = \frac{\frac{-183}{23}}{\frac{1}{23}}$$
Разделим дроби:
$$\frac{\frac{-183}{23}}{\frac{1}{23}} = \frac{-183}{23} \cdot \frac{23}{1} = -183$$
**Ответ: -183**
**435.** Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 9}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a + 6}$ при $a = \frac{1}{27}$.
Сначала упростим выражение. Заметим, что $a^2 - 9$ это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$$
Также вынесем 2 из выражения $2a + 6$:
$$2a + 6 = 2(a + 3)$$
Теперь перепишем выражение с учетом разложения:
$$\frac{(a - 3)(a + 3)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a + 3)}$$
Сократим $(a + 3)$ в числителе и знаменателе, а также сократим $a$:
$$\frac{(a - 3)(a + 3)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a + 3)} = \frac{a - 3}{4a}$$
Теперь подставим значение $a = \frac{1}{27}$ в упрощенное выражение:
$$\frac{\frac{1}{27} - 3}{4 \cdot \frac{1}{27}} = \frac{\frac{1}{27} - \frac{81}{27}}{\frac{4}{27}} = \frac{\frac{-80}{27}}{\frac{4}{27}}$$
Разделим дроби:
$$\frac{\frac{-80}{27}}{\frac{4}{27}} = \frac{-80}{27} \cdot \frac{27}{4} = \frac{-80}{4} = -20$$
**Ответ: -20**
