Реши задачу: 1) В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке? 2) Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найди исходное число.

Привет! Давай разберем эти интересные задачки. **Первая задача: про фишки** Представь, что у тебя есть 1000 фишек, выложенных в ряд. Ты можешь менять местами любые две фишки, которые находятся через одну друг от друга. Вопрос: можно ли переставить все фишки в обратном порядке? Чтобы понять, как это работает, давай рассмотрим пример с меньшим количеством фишек, например, с четырьмя. Было: 1 2 3 4 Надо: 4 3 2 1 Можно менять местами фишки через одну: - 1 и 3 - 2 и 4 Заметим, что фишки, стоящие на нечетных местах (1 и 3), могут меняться местами только между собой. То же самое касается фишек на четных местах (2 и 4). Теперь представим, что у нас 1000 фишек. Фишки, стоящие на нечетных местах, могут меняться местами только между собой, и фишки на четных местах – тоже только между собой. Чтобы переставить все фишки в обратном порядке, нужно поменять местами фишки с четных мест на нечетные, и наоборот. Но это невозможно, так как они "заперты" в своих группах. **Ответ: Нельзя.** **Вторая задача: про число и сумму цифр** У нас есть число, не больше 100. Мы вычитаем из него сумму его цифр, потом снова вычитаем сумму цифр из результата, и так 11 раз. В итоге получаем 0. Надо найти исходное число. Заметим, что когда мы вычитаем сумму цифр из числа, результат всегда делится на 9. Например: - 54 - (5 + 4) = 54 - 9 = 45 (делится на 9) - 23 - (2 + 3) = 23 - 5 = 18 (делится на 9) После каждого вычитания мы получаем число, которое делится на 9. После 11 вычитаний мы получили 0, значит, перед этим было число, которое делится на 9. Давай подумаем, какое число до 100, делящееся на 9, может дать 0 после вычитания суммы его цифр 11 раз? Если мы вычитаем сумму цифр, мы уменьшаем число. Поскольку после 11 вычитаний получилось 0, то после 10 вычитаний должно было получиться какое-то небольшое число, делящееся на 9. Самое простое – это 9. Значит, после 9 вычитаний должно быть 18, после 8 вычитаний 27 и т.д. Получается, каждый раз нам нужно добавлять 9. Если мы будем прибавлять 9 одиннадцать раз к нулю, то получим: $$9 * 11 = 99$$ Проверим: - 99 - (9 + 9) = 99 - 18 = 81 - 81 - (8 + 1) = 81 - 9 = 72 - 72 - (7 + 2) = 72 - 9 = 63 - 63 - (6 + 3) = 63 - 9 = 54 - 54 - (5 + 4) = 54 - 9 = 45 - 45 - (4 + 5) = 45 - 9 = 36 - 36 - (3 + 6) = 36 - 9 = 27 - 27 - (2 + 7) = 27 - 9 = 18 - 18 - (1 + 8) = 18 - 9 = 9 - 9 - (0 + 9) = 9 - 9 = 0 Всего 10 вычитаний. Значит, мы сделали одно лишнее вычитание, и надо было остановиться на числе 9. А перед этим было число 99. **Ответ: 99**