Упрости выражение с логарифмами (log_2 4 + log_2 √10) / (log_2 20 + 3 log_2 2)

Конечно, решим! Нам нужно упростить выражение с логарифмами. Вот как это сделать: 3) $$\frac{log_2 4 + log_2 \sqrt{10}}{log_2 20 + 3 log_2 2}$$ Сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности. Числитель: $$log_2 4 + log_2 \sqrt{10} = log_2 2^2 + log_2 10^{\frac{1}{2}} = 2 + \frac{1}{2} log_2 10$$ Знаменатель: $$log_2 20 + 3 log_2 2 = log_2 20 + log_2 2^3 = log_2 20 + log_2 8 = log_2 (20 \cdot 8) = log_2 160$$ Теперь перепишем исходное выражение: $$\frac{2 + \frac{1}{2} log_2 10}{log_2 160}$$ Заметим, что $$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 10$$. Тогда: $$log_2 160 = log_2 (2^4 \cdot 10) = log_2 2^4 + log_2 10 = 4 + log_2 10$$ Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{2 + \frac{1}{2} log_2 10}{4 + log_2 10}$$ Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби: $$\frac{4 + log_2 10}{8 + 2 log_2 10} = \frac{4 + log_2 10}{2(4 + log_2 10)}$$ Теперь можно сократить: $$\frac{1}{2}$$ **Ответ: 1/2**