Объясни, почему в лог6 30/корень150 получилось 6, а не корень 6

Давай разберемся, как получается $\log_6 6$ из $\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}}$. Сначала упростим выражение под логарифмом: $$\frac{30}{\sqrt{150}}$$ Представим 150 как произведение простых чисел: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Тогда $\sqrt{150} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5^2} = 5\sqrt{6}$. Теперь подставим это в нашу дробь: $$\frac{30}{\sqrt{150}} = \frac{30}{5\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$: $$\frac{6}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$$ Теперь вспомним, что $\sqrt{6}$ можно записать как $6^{\frac{1}{2}}$. Тогда $\log_6 \sqrt{6} = \log_6 6^{\frac{1}{2}}$. По свойству логарифмов, $\log_a b^c = c \log_a b$. В нашем случае: $$\log_6 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_6 6$$ Так как $\log_a a = 1$, то $\log_6 6 = 1$. Следовательно, $\frac{1}{2} \log_6 6 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. В примере, который ты привел, была допущена ошибка. Правильный переход: $$\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}} = \log_6 \sqrt{6} = \frac{1}{2}$$ а не $\log_6 6$.