Реши уравнения: 1) (3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 8 * 6^x; 2) При каких значениях x имеет смысл выражение log(2x - 1)?

Привет! Давай решим эти задания по математике. **Задание 287, пункт 1** Нам нужно решить уравнение: $$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$$ Попробуем упростить это уравнение. Разделим обе части уравнения на $6^x$: $$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{6^x} = \frac{8 \cdot 6^x}{6^x}$$ $$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{6^x} = 8$$ Теперь разделим каждый множитель в числителе на $6^x = 2^x \cdot 3^x$: $$\left(\frac{3^x}{3^x \cdot 2^x} + \frac{2^x}{3^x \cdot 2^x}\right)\left(\frac{3^x}{3^x \cdot 2^x} + \frac{3 \cdot 2^x}{3^x \cdot 2^x}\right) = 8$$ $$\left(\frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x}\right)\left(\frac{1}{2^x} + \frac{3}{3^x}\right) = 8$$ $$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\frac{1}{3}\right)^x\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x + 3\left(\frac{1}{3}\right)^x\right) = 8$$ Обозначим $\left(\frac{1}{2}\right)^x = a$ и $\left(\frac{1}{3}\right)^x = b$. Тогда уравнение примет вид: $$(a + b)(a + 3b) = 8$$ $$a^2 + 3ab + ab + 3b^2 = 8$$ $$a^2 + 4ab + 3b^2 = 8$$ Теперь нужно попробовать подобрать решение. Заметим, что при $x=1$: $$a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{3}$$ Подставим эти значения в уравнение: $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$$ Это не равно 8, значит, $x=1$ не является решением. Теперь попробуем $x = -1$: $$a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2, \quad b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$$ Подставим эти значения в уравнение: $$(2 + 3)(2 + 3 \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 9) = 5 \cdot 11 = 55$$ Это тоже не равно 8. Теперь попробуем $x = 0$: $$a = \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1, \quad b = \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1$$ Подставим эти значения в уравнение: $$(1 + 1)(1 + 3 \cdot 1) = 2 \cdot (1 + 3) = 2 \cdot 4 = 8$$ Получили 8, значит, $x=0$ является решением. **Ответ: x = 0** **Задание 288, пункт 1** Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выражение $\log(2x - 1)$ имеет смысл. Логарифм существует только для положительных чисел. Значит, аргумент логарифма должен быть больше нуля: $$2x - 1 > 0$$ $$2x > 1$$ $$x > \frac{1}{2}$$ **Ответ: $x > \frac{1}{2}$**