Найди корни уравнения log₄(5x - 4) - 3/(log₄(5x - 4) - 1) + 1 = 0

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Вот как это делается: У нас есть уравнение: $$\log_4(5x - 4) - \frac{3}{\log_4(5x - 4) - 1} + 1 = 0$$ Сделаем замену, чтобы было проще: $$y = \log_4(5x - 4)$$ Тогда уравнение примет вид: $$y - \frac{3}{y - 1} + 1 = 0$$ Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $(y - 1)$: $$y(y - 1) - 3 + (y - 1) = 0$$ Раскроем скобки: $$y^2 - y - 3 + y - 1 = 0$$ $$y^2 - 4 = 0$$ $$y^2 = 4$$ Теперь найдем $y$: $$y = \pm 2$$ Вернемся к замене: $$\log_4(5x - 4) = 2$$ или $$\log_4(5x - 4) = -2$$ Решим первое уравнение: $$5x - 4 = 4^2$$ $$5x - 4 = 16$$ $$5x = 20$$ $$x = 4$$ Решим второе уравнение: $$5x - 4 = 4^{-2}$$ $$5x - 4 = \frac{1}{16}$$ $$5x = 4 + \frac{1}{16}$$ $$5x = \frac{64}{16} + \frac{1}{16}$$ $$5x = \frac{65}{16}$$ $$x = \frac{65}{16 \cdot 5}$$ $$x = \frac{13}{16}$$ Теперь нужно проверить, подходят ли оба корня в исходное уравнение. Проверим $x = 4$: $$5x - 4 = 5(4) - 4 = 20 - 4 = 16 > 0$$ $$\log_4(16) = 2$$ $$2 - \frac{3}{2 - 1} + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$$ Значит, $x = 4$ является корнем. Проверим $x = \frac{13}{16}$: $$5x - 4 = 5\left(\frac{13}{16}\right) - 4 = \frac{65}{16} - \frac{64}{16} = \frac{1}{16} > 0$$ $$\log_4\left(\frac{1}{16}\right) = -2$$ $$-2 - \frac{3}{-2 - 1} + 1 = -2 - \frac{3}{-3} + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$$ Значит, $x = \frac{13}{16}$ тоже является корнем. **Ответ: Уравнение имеет два корня: $x_1 = 4, x_2 = \frac{13}{16}$**